ANALIZA MATEMATYCZNA E1, WPPT LICZBY RZECZYWISTE

Uwagi. ℤ, ℚ, ℝ oznaczają odpowiednio zbiór liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych. Symbol ∑ _{k=1}^{n} a_{k} definiujemy indukcyjnie:

∑_{k=1}^{1} a_{k} = a_{1};  ∑_{k=1}^{n} a_{k} = ( ∑_{k=1}^{n−1} a_{k}) + a_{n} dla n = 2, 3, ….

1. Wykaż, że wartość bezwzględna liczby rzeczywistej ma następujące własności:

(a) |x| = | − x|;  (b) − |x| x |x|;  (c) |x| y ⟺ −y x y;
(d) |x + y| |x| + |y|;  (e) |x| − |y| |x − y| |x| + |y|;  (f) |xy| = |x||y|;

(g) ||x| − |y|| |x − y|; (h) | \frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|} (y ≠ 0)

dla dowolnych x, y ∈ ℝ.

2. Oblicz sumy

(a) ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} (wskazówka: \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1} ); (b) ∑_{k=1}^{n} k · k!

3. Stosując zasadę indukcji matematycznej uzasadnij, że (a) |x_{1} + x_{2} + ⋯+ x_{n}| |x_{1}| + |x_{2}| + ⋯+ |x_{n}| dla x_{1}, …, x_{n} ∈ ℝ, n = 1, 2, …;

(b) (1 + x)^{n} > 1 + nx dla −1 < x, x ≠ 0 oraz n = 2, 3, …; [nierówność Bernoulliego]

(c) ( ∑_{k=1}^{n} x_{k}y_{k})^{2} ( ∑_{k=1}^{n} x_{k}^{2}) ( ∑_{k=1}^{n} y_{k}^{2}) , x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{n} ∈ ℝ;

[nierówność Schwarza]

(d) (x + y)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n−k} y^{k} , x, y ∈ ℝ \ \{0\} [dwumian Newtona] (też dla x = 0 lub y = 0, gdy przyjmiemy umowę, że 0^{0} = 1);

(e) ∑_{k=1}^{n} sinkx = sin \frac{nx}{2} sin \frac{(n+1)x}{2} ; sin \frac{x}{2} dla x ≠ 2mπ, m ∈ ℤ;

(f) ∑_{k=1}^{n} coskx = sin \frac{nx}{2} cos \frac{(n+1)x}{2} ; sin \frac{x}{2} dla x ≠ 2mπ, m ∈ ℤ;

(g) 1 + 2 + ⋯+ n = \frac{n(n+1)}{2} , n = 1, 2, …;

(h) 1^{2} + 2^{2} + ⋯+ n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} , n = 1, 2, …;

(i) 1^{3} + 2^{3} + ⋯+ n^{3} = (1 + 2 + ⋯+ n)^{2}, n = 1, 2, …;

(j) (1+a_{1})(1+a_{2}) …(1+a_{n}) > 1+a_{1}+⋯ +a_{n} dla a_{1}, …, a_{n} > 0 oraz n = 2, 3, . . ..

4. Udowodnij nierówność pomiędzy średnią geometryczną i arytmetyczną:

(∗)  \sqrt[n]{a_{1}a_{2} …a_{n}} \frac{a_{1} + a_{2} + ⋯+ a_{n}}{n}

dla a_{1}, …, a_{n} 0. Wskazówka: sprawdź najpierw (∗) dla n = 1, 2. Następnie z prawdziwości (∗) dla pewnego n > 1 uzasadnij prawdziwość (∗) dla 2n i dla n−1 w miejsce n.

5. Udowodnij nierówność pomiędzy średnią harmoniczną i geometryczną:

\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯+ \frac{1}{a_{n}}} \sqrt[n]{a_{1}a_{2} …a_{n}}

dla a_{1}, …, a_{n} > 0. Wskazówka jak wyżej.

6. Korzystając z zadania 3 uzasadnij, że

(a) ∑_{k=0}^{n} (−1)^{k}\binom{n}{k} = 0; (b) ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n}.

7. Korzystając z nierówności pomiędzy średnimi uzasadnij, że

(a) 8abc (a + b)(b + c)(c + a) dla a, b, c > 0;
(b) \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{3}} + ⋯+ \frac{x_{n−1}}{x_{n}} + \frac{x_{n}}{x_{1}} n dla x_{1}, …, x_{n} > 0 i n = 2, 3, …;
(c) \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1} \frac{3}{4} dla x, y, z 0 i x + y + z = 1 .

8. Znajdź wszystkie funkcje f: ℚ → ℚ spełniające dla dowolnych x, y ∈ ℚ równanie f(x + y) = f(x) + f(y).

9. Wykaż, że liczby \sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, \sqrt{3} są niewymierne.