ANALIZA MATEMATYCZNA E1, WPPT CIĄGI LICZBOWE

1. Dane są ciągi w ℝ: (a) 1, 0, 1, 0, 1, …; (b) 0, 0, 1, 0, 0, 1, …; (c) 1, 0, −1, 1, 0, −1, . . .. Jak wyrazić n-ty wyraz każdego z tych ciągów jako funkcję n, gdzie n ∈ ℕ?

2. Wykazać, że suma dwóch ciągów rzeczywistych ograniczonych z góry jest ciągiem ograniczonym z góry. Czy iloczyn dwóch ciągów ograniczonych z góry jest ciągiem ograniczonym z góry?

3. Niech lim_{n→∞} a_{n} · b_{n} = 0. Czy jeden z tych ciągów musi być zbieżny do zera? Czy ciągi te muszą być ograniczone? Czy ciągi te muszą być zbieżne?

4. Pokazać, że: lim_{n→∞} a_{n} = 0 ⟺ lim_{n→∞} |a_{n}| = 0 ⟺ lim_{n→∞} a_{n}^{2} = 0.

5. Niech lim_{n→∞} a_{n}^{2} = 1. Czy musi być | lim_{n→∞} a_{n}| = 1?

6. Niech lim_{n→∞} a_{n}^{2} = 1 i lim_{n→∞} (a_{n+1} − a_{n}) = 0. Czy ciąg a_{n} musi być zbieżny?

7. Ciągi a_{n} i b_{n} są takie, że lim_{n→∞} (a_{n} − b_{n}) = lim_{n→∞} (a_{n} + b_{n}) = 0. Czy ciągi a_{n} i b_{n} muszą być zbieżne? Jeśli tak, to co można powiedzieć o granicach tych ciągów?

8. Ciąg a_{n} jest monotoniczny i zawiera podciąg zbieżny do g. Pokazać, że lim_{n→∞} a_{n} = g.

9. Pokazać, że jeżeli a_{n} M > 0 i lim_{n→∞} b_{n} = ∞, to lim_{n→∞} a_{n} · b_{n} = ∞.

10. Ciąg a_{n} jest ograniczony z góry, a lim_{n→∞} b_{n} = −∞. Pokazać, że lim_{n→∞} (a_{n} + b_{n}) = −∞. Czy musi istnieć granica lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}}?

11. Niech lim_{n→∞} a_{n} = g > 0 i λ ∈ (0, g). Wykazać, że istnieje takie n_{0}, że a_{n} > λ dla dowolnego n > n_{0}. Jak brzmi wersja tego twierdzenia dla przypadku g < 0?

12. Niech A ⊂ ℝ, g = supA i g ∉ A. Pokazać, że istnieje ściśle rosnący ciąg a_{n} ∈ A, którego granicą jest g.

13. Pokazać, że jeżeli a_{n} b_{n} i granice obu ciągów istnieją, to lim_{n→∞} a_{n} lim_{n→∞} b_{n}.

14. Pokazać, że każda liczba rzeczywista jest: a) kresem górnym pewnego zbioru liczb wymiernych, b) granicą ciągu liczb wymiernych.

15. Pokazać, że jeżeli a > 0, to lim_{n→∞} \sqrt[n]{a} = 1.

16. Pokazać, że lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1.

17. Wykorzystując twierdzenie o ciągach monotonicznych, sprawdzić zbieżność poniższych ciągów:

a_{n} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + ⋯+ \frac{1}{n^{2}}; b_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ⋯+ \frac{1}{n + n} ;

x_{1} = a, 0 a \frac{1}{3}  i x_{n+1} = \frac{1}{4 − 3x_{n}} ;  y_{1} = \frac{1}{2}  i y_{n+1} = \frac{1}{2}(1 + y_{n}^{2}).

18. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, znaleźć granice następujących ciągów:

a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + ⋯+ \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} ; b_{n} = \sqrt[n]{1 + n + 5^{n}} ;

c_{n} = \sqrt[n]{3^{n} − 2^{n}} ; d_{n} = \frac{1}{n} \sqrt[n]{n^{n} − 2^{n}} ; e_{n} = \sqrt[n]{2^{−n} + 3^{−n}} ; f_{n} = \sqrt[n^{2}]{1 + 2^{n}} .

19. Stosując twierdzenie Stolza, obliczyć granice następujących ciągów:

a_{n} = \frac{n^{6}}{1^{5} + 2^{5} + ⋯+ n^{5}} ; b_{n} = \frac{lnn!}{n lnn}.

20. Sprawdzić, czy ciągi

a_{n} = \frac{cos1!}{1 · 2} + \frac{cos2!}{2 · 3} + ⋯+ \frac{cosn!}{n · (n + 1)}; b_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ⋯+ \frac{1}{n + n^{2}}

spełniają warunek Cauchy’ego zbieżności w ℝ.

21. Pokazać, że jeśli a_{n} > 0 i lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} = g, gdzie g < 1, to lim_{n→∞} a_{n} = 0. Wykorzystać ten fakt do obliczenia granicy:

lim_{n→∞} \frac{n^{a}}{b^{n}} (a > 0, b > 1).

22. Pokazać, że jeśli a_{n} > 0 i lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = g, gdzie g < 1, to lim_{n→∞} a_{n} = 0. Wykorzystać ten fakt do obliczenia granic:

lim_{n→∞} \frac{2^{n} · n}{n^{n}}; lim_{n→∞} \frac{a^{n}}{n!} (a > 0).

23. Pokazać, że jeśli a_{n} > 0 i istnieje granica lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = g, to istnieje granica lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} i jest także równa g. Wykorzystać ten fakt do obliczenia granic:

lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^{n}}}; lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}.

24. Obliczyć granice ciągów lub stwierdzić ich rozbieżność:

a_{=} ( 1 − \frac{1}{n^{2}} ) ^{n} ;  b_{n} = ( 1 + \frac{1}{n^{2}} ) ^{n} ;  c_{n} = ( 1 + \frac{1}{n}) ^{n^{2}} ;
d_{n} = ( \frac{2n − 1}{2n + 1} ) ^{n} ;  e_{n} = \frac{(n + sinn)n}{1 + n^{2}} ;  f_{n} = \frac{3^{n} + 2^{n}}{3^{n} + (−2)^{n}} .

25. Znaleźć zbiór punktów skupienia ciągów, a następnie podać ich granicę dolną i górną:

a_{n} = sin \frac{nπ}{12}; b_{n} = \frac{3}{5}n − [ \frac{3}{5}n] ; c_{n} = 1 + n sin( \frac{π}{2}n) .

26. Wykazać, że jeżeli ciąg a_{n} jest zbieżny to lim sup_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = lim_{n→∞} a_{n} + lim sup_{n→∞}b_{n}.

27. Niech lim inf_{n→∞}a_{n} = α, lim sup_{n→∞}a_{n} = β, α < β oraz lim sup_{n→∞}(a_{n+1} − a_{n}) = 0. Pokazać, że zbiór punktów skupienia ciągu a_{n} jest całym odcinkiem [α, β]. Podać przykłady ciągów spełniających trzy wyżej podane warunki.