ANALIZA MATEMATYCZNA E1, WPPT CIĄGI LICZBOWE (lista dodatkowa)

1. Wykazać, że dla liczb naturalnych k n prawdziwa jest nierówność

1 + \frac{k}{n} ( 1 + \frac{1}{n}) ^{k} < 1 + \frac{k}{n} + \frac{k^{2}}{n^{2}}.

Wskazówka: można zastosować indukcję po k.

2. Wykazać, że ciąg b_{n} = (1 + \frac{1}{n}) ^{n+1} jest malejący i uzasadnić nierówności:

( 1 + \frac{1}{n}) ^{n} < e < ( 1 + \frac{1}{n}) ^{n+1}

oraz

\frac{1}{n + 1} < ln( 1 + \frac{1}{n}) < \frac{1}{n}.

Wskazówka: oszacować stosunek \frac{b_{n}}{b_{n−1}} dla n 2, korzystając z nierówności Bernoullie’go.

3. Obliczyć granice niżej podanych ciagów lub stwierdzić ich rozbieżność

a_{n} = n − ln(1 + 2^{n});  b_{n} = \frac{1 + n[\sqrt{n}]}{n[\sqrt{n}]};  c_{n} = n − \sqrt{n}sinn;
d_{n} = n − lnn!;  e_{n} = \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ⋯+ \frac{1}{\sqrt{n}};  f_{n} = n ( \sqrt[n]{e} − 1) ;
g_{n} = sin(π\sqrt{n^{2} + n} );  h_{n} = ( \sqrt[n]{n} − 1) ^{n} ;  p_{n} = (1 − \frac{1}{2}) · (1 − \frac{1}{4}) · . . .· (1 − \frac{1}{2n}),

(pokazać, że p_{n}^{2} \frac{1}{2n+1} .)

4. Sprawdzić, czy istnieje lim_{n→∞} sinn.

5. Ciąg a_{n} spełnia warunek | a_{n+1} − a_{n}| \frac{1}{n^{2}} , n ∈ ℕ. Czy ten ciąg jest zbieżny?

6. Ciąg a_{n} spełnia warunek | a_{n+1} − a_{n}| \frac{1}{n+1} , n ∈ ℕ. Czy ten ciąg musi być zbieżny?

7. Ciąg a_{n} spełnia warunek : ∃_{C>0} ∀_{n∈ℕ}

|a_{2} − a_{1}| + |a_{3} − a_{2}| + ⋯+ |a_{n} − a_{n−1} | C.

Pokazać, że a_{n} jest ciągiem zbieżnym. Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne:

Jeżeli ciąg a_{n} jest zbieżny, to

∃_{C>0} ∀_{n∈ℕ} |a_{2} − a_{1}| + |a_{3} − a_{2}| + ⋯+ |a_{n} − a_{n−1} | C?

8. Funkcja f : ℝ −→ ℝ spełnia warunek

|f(x) − f(y)| λ|x − y|, x, y ∈ ℝ, 0 < λ < 1.

Tworzymy ciąg x_{n} kładąc x_{1} = a (a ∈ ℝ), x_{n+1} = f(x_{n}). Pokazać, że x_{n} jest ciągiem zbieżnym. Wskazówka: sprawdzić warunek Cauchy’ego.

9. Ciąg a_{n} spełnia warunki: a_{0} = p, a_{1} = q, p, q ∈ ℝ oraz równanie a_{n+2} = \frac{1}{2} (a_{n} + a_{n+1} ) . Wyznaczyć a_{n} za pomocą funkcji n i zbadać zbieżność tego ciągu. Wskazówka: pokazać, że jeśli ciągi x_{n} i y_{n} spełniają równanie, to ciąg z_{n} = αx_{n} + βy_{n}, α, β ∈ ℝ, również spełnia to równanie, a następnie znaleźć dwa rozwiązania tego rówanania w postaci a_{n} = r^{n}, gdzie r jest niewiadomą liczbą rzeczywistą.

10. Ciąg a_{n} spełnia warunki: a_{0} = 2, a_{1} = \sqrt{2}, a_{n+2} = \sqrt{a_{n} · a_{n+1}}. Wyrazić a_{n} jako funkcję n i zbadać zbieżność tego ciągu.

11. Dany jest ciąg x_{n}. Wiadomo, że wszystkie podciągi postaci x_{kn} (k 2, n ∈ ℕ) są zbieżne, gdy n → ∞ (tzn. podciągi x_{2}, x_{4}, x_{6}, …; x_{3}, x_{6}, x_{9}, … są zbieżne). Czy ciąg x_{n} musi być zbieżny?

12. Permutacją (przestawieniem) ciągu a_{n} nazywamy ciąg b_{n} = a_{τ(n)}, gdzie τ : ℕ −→ ℕ jest permutacją ciągu liczb naturalnych ℕ (np. τ(n) = n − (−1)^{n}, przestawiamy 2n − 1 z 2n). Czy permutacja ciągu zbieżnego jest ciągiem zbieżnym?

13. Ciąg liczb wymiernych \frac{p_{n}}{q_{n}} , q_{n}-naturalne, jest zbieżny do liczby niewymiernej. Pokazać, że limq_{n} = ∞. Czy musi być lim|p_{n}| = ∞?

14. Ciąg liczb wymiernych \frac{p_{n}}{q_{n}} , q_{n}-naturalne, jest zbieżny do liczby wymiernej. Czy musi być limq_{n} = ∞? Czy jest tak, gdy ciąg \frac{p_{n}}{q_{n}} jest różnowartościowy?

15. Niech ξ będzie liczbą niewymierną. Pokazać, że ciąg x_{n} = n · ξ − [n · ξ] jest różnowartościowy i x_{n} ∈ (0, 1). Położyć ξ = \sqrt{2} i znaleźć 10 pierwszych wyrazów x_{n}.

16. Zbadać rozmieszczenie wyrazów ciągu x_{n} = sinn, y_{n} = sinn^{2} oraz z_{n} = sin2^{n} na odcinku [−1, 1], gdzie n, n^{2}, 2^{n} są wyrażone w stopniach.

17. Zbadać rozmieszczenie punktów (cosn, sinn) oraz (cos2^{n}, sin2^{n}) na płaszczyźnie ℝ^{2} (n wyraża miarę kąta w radianach, a 2^{n} miarę kąta w stopniach).

18. Dany jest ciąg a_{n} ∈ ℝ. Niech d_{n} = inf{x : x = a_{k}, k n} i D_{n} = sup{x : x = a_{k}, k n}. Czy prawdziwe są zdania:

(i) Jeżeli a_{n} jest ciągiem zbieżnym do g, to limd_{n} = limD_{n} = g;

(ii) Jeżeli ciągi d_{n} i D_{n} są zbieżne oraz limd_{n} = limD_{n} = g, to lima_{n} = g;

(iii) Jeżeli ciąg a_{n} jest ograniczony, to ciągi d_{n} i D_{n} są zbieżne i limd_{n} limD_{n}?

19. Niech lim infa_{n} = 0 i lim supa_{n} = ∞ oraz lim(a_{n+1} −a_{n}) = 0. Pokazać, że dla każdej liczby c ∈ [0, ∞) istnieje podciąg a_{k_{n}} ciągu a_{n} taki, że lima_{k_{n}} = c. Podać przykład ciągu spełniającego trzy powyższe warunki.