ANALIZA MATEMATYCZNA E1, WPPT GRANICA FUNKCJI

1. Korzystając z definicji granicy funkcji w punkcie wykazać, że (a) lim_{x→2} x^{2} = 4; (b) lim_{x→x_{0}} sinx = sinx_{0}; (c) lim_{x→1} \frac{1}{(1 − x)^{2}} = +∞;

(d) lim_{x→x_{0}} a^{x} = a^{x_{0}} (a > 0); (e) lim_{x→x_{0}} lnx = lnx_{0} (x_{0} > 0).

2. Udowodnić, że:

(a) lim_{x→0} f(x) = g ⟺ lim_{x→0} f(x^{3}) = g; (b) lim_{x→x_{0}} f(x) = g ⟺ lim_{x→x_{0}} f^{3}(x) = g^{3}.

3. Udowodnić, że:

(a) lim_{x→0} f(x) = g ⟹ lim_{x→0} f(x^{2}) = g; (b) lim_{x→x_{0}} f(x) = g ⟹ lim_{x→x_{0}} f^{2}(x) = g^{2}.

Czy odwrotne implikacje są prawdziwe?

4. Niech [a] oznacza część całkowitą z liczby a. Zbadać istnienie granic:

(a) lim_{x→0}x [ \frac{1}{x}] ; (b) lim_{x→0} \frac{[x]}{x}.

5. Załóżmy, że lim_{x→0}f ( [ \frac{1}{x}]^{−1} ) = 0. Czy istnieje lim_{x→0} f(x) ?

6. Obliczyć granice:

(a) lim_{x→+∞} \frac{x^{2} − 1}{2x^{2} − x − 1} ; (b) lim_{x→1} \frac{x^{2} − 1}{2x^{2} − x − 1} ;

(c) lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 − 2x − x^{2}} − (1 + x)}{x} ; (d) lim_{x→8} \frac{\sqrt{9 + 2x} − 5}{\sqrt[3]{x} − 2} .

7. Dobrać stałe a_{i}, b_{i} (i = 1, 2) tak, aby

lim_{x→+∞} (\sqrt{x^{2} − x + 1} − a_{1}x − b_{1}) = 0 i lim_{x→−∞} (\sqrt{x^{2} − x + 1} − a_{2}x − b_{2}) = 0.

8. Niech f(x) = x cosx (x ∈ ℝ). Podać przykłady ciągów (x_{n}) rozbieżnych do +∞ i spełniających

(a) lim_{n→∞} f (x_{n}) = 0, (b) lim_{n→∞} f (x_{n}) = +∞, (c) lim_{n→∞} f (x_{n}) = −∞.

9. Niech f: ℝ → ℝ będzie funkcją okresową, ale nie stałą. Wykazać, że nie istnieje granica lim_{x→∞} f(x).

10. Udowodnić, że lim_{x→+∞} (sin \sqrt{x + 1} − sin \sqrt{x}) = 0.

11. Udowodnić, że lim_{x→+∞} \frac{x^{n}}{a^{x}} = 0 (a > 1, n > 0).

12. Niech f (x) = x + [x^{2}] . Obliczyć f(1), lim_{x→1^{+}} f(x), lim_{x→1^{−}} f(x).

13. Niech f (x) = sgn(sinπx). Dla n ∈ ℤ wyznaczyć f(n), lim_{x→n^{+}} f(x), lim_{x→n^{−}} f(x).

14. Niech f (x) = (1 + e^{\frac{1}{x}})^{−1} (x ≠ 0). Obliczyć granice: lim_{x→0^{+}} f(x), lim_{x→0^{−}} f(x).

15. Udowodnić, że: (a) lim_{x→0} \frac{sinx}{x} = 1, (b) lim_{x→0} \frac{a^{x} − 1}{x} = lna (a > 0).

16. Na liczbach rzeczywistych nieujemnych określamy funkcję

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & dla x niewymiernych, \\ \frac{1}{n} & dla x = \frac{m}{n}, gdzie NWD(m, n) = 1, \\ 1 & dla x = 0. \end{matrix}

Wyznaczyć lim_{x→x_{0}} f(x), gdy x_{0} jest liczbą: (a) wymierną, (b) niewymierną.

17. Obliczyć granice:

(a) lim_{x→0} \frac{1 − cosx}{x^{2}} ; (b) lim_{x→0} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x sinx} − \sqrt{cosx}} ; (c) lim_{x→0} \frac{1 − \sqrt{cosx}}{1 − cos \sqrt{x}} .

18. Wykazać, że lim_{x→x_{0}} (f (x))^{g(x)} = a^{b}, gdy lim_{x→x_{0}} f(x) = a, a > 0 i lim_{x→x_{0}} g(x) = b.

19. Obliczyć granice:

(a) lim_{x→∞} ( \frac{x + 2}{2x + 1} ) ^{x^{2}} ; (b) lim_{x→∞} ( 1 − \frac{1}{x^{2}} ) ^{x} ; (c) lim_{x→∞} ( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} − 2} ) ^{x^{2}} ;

(d) lim_{x→0} (1 + x^{2}) ^{ctg^{2} x} ; (e) lim_{x→0} \frac{ln(1 + x)}{x} .

20. Niech f będzie funkcją ograniczoną z dołu na każdym skończonym przedziale (a, b) oraz lim_{x→+∞} (f(x + 1) − f(x)) = +∞. Wykazać, że lim_{x→+∞} \frac{f(x)}{x} = +∞.

21. Załóżmy, że dla funkcji f zachodzi lim_{x→x_{0}} (f (x) + \frac{1}{|f(x)|} ) = 0. Znaleźć lim_{x→x_{0}} f(x).

22. Wykazać, że funkcja monotoniczna w przedziale [a, b]ma w każdym punkcie wewnętrznym przedziału granicę prawostronną i granicę lewostronną, a w punktach końcowych ma granice jednostronne.

23. Wyznaczyć sup_{x∈[a,b]} f(x) i inf_{x∈[a,b]} f(x), gdy f jest funkcją rosnącą na przedziale [a, b].

24. Niech funkcja f monotonicznie rośnie na przedziale [a, b), gdzie a < b oraz b jest liczbą skończoną lub +∞. Ponadto niech f będzie funkcją ograniczoną na [a, b). Wykazać, że przy x → b funkcja ma granicę skończoną.

25. Wyznaczyć lim sup_{x→0} f(x) oraz lim inf_{x→0} f(x) dla

(a) f(x) = sin^{2} \frac{1}{x} + \frac{2}{π} arc tg \frac{1}{x}; (b) f(x) = (2 − x^{2}) cos \frac{1}{x}.