ANALIZA MATEMATYCZNA E1, WPPT CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

1. Funkcja f : ℝ → ℝ ma własność

∀_{δ>0} ∃_{ε>0} |x − x_{0} | < δ ⇒ |f(x) − f(x_{0}) | < ε.

Czy f jest funkcją ciągłą w x_{0}?

2. Funkcja f : ℝ → ℝ ma własność

∀_{ε>0} ∃_{δ>0} |x − x_{0} | < δ ⇒ f(x) < f(x_{0}) + ε.

Czy f jest funkcją ciągłą w x_{0}?

3. Dla podanych funkcji wyznaczyć punkty ciągłości i nieciągłości:

(a) y = x^{2} − x[x]; (b) y = sgn sinπx;

(c) y = \{ \begin{matrix}\frac{\sqrt{sin^{2} x}}{x} & dla x ≠ 0 \\ 1 & dla x = 0 \end{matrix} ; (d) y = \{ \begin{matrix}\frac{1}{1+exp(− \frac{1}{x^{2}} )} & dla x ≠ 0 \\ 1 & dla x = 0 \end{matrix} .

4. Dane są funkcje f(x) = sgn(x) i g(x) = x(1 − x^{2}). Zbadać ciągłość tych funkcji i ich superpozycji f(g(x)) oraz g(f(x)).

5. Niech funkcje f i g będą ciągłe na (a, b). Pokazać, że funkcje u(x) = min{f(x), g(x)} i v(x) = max{f(x), g(x)} też są ciagłe na (a, b).

6. Niech funkcja f będzie ciągła na półprostej x 0. Pokazać, ze funkcja min_{t∈[0,x]} f(t) jest także ciągła na półprostej x 0.

7. Czy funkcję f(x) = \frac{ln(1+x)}{x} (x > −1, x ≠ 0) można tak określić w punkcie x = 0, by otrzymać funkcję ciągłą na całej półprostej x > −1?

8. Czy funkcję f(x) = \frac{sin πx}{[x]−x} (x ∉ ℤ) można tak określić w punktach całkowitych, by otrzymać funkcję ciągłą na całej prostej ℝ?

9. Funkcje f, g: ℝ → ℝ są ciągłe na ℝ i f(x) = g(x) dla wymiernych x. Czy f ≡ g?

10. Uzasadnić, że jedynymi funkcjami ciągłymi na ℝ, spełniającymi dla wszystkich x, y ∈ ℝ warunek f(x + y) = f(x) + f(y), są funkcje liniowe (por. zadanie z listy o liczbach rzeczywistych).

11. Udowodnić, że jeżeli funkcja f jest ciągła na półprostej [a, ∞) i ma skończoną granicę lim_{x→∞} f(x), to funkcja ta jest ograniczona na [a, ∞).

12. Udowodnić, że jeżeli funkcja f jest monotoniczna na przedziale (a, b) i ma tam własność Darboux, to jest ciągła na (a, b).

13. Funkcję f: (a, b) → ℝ nazywamy wypukłą, gdy dla dowolnych x, y ∈ (a, b) i λ ∈ (0, 1) zachodzi f(λx + (1 − λ)y) λf(x) + (1 − λ)f(y). Uzasadnić, że każda funkcja wypukła jest ciągła.

14. Dana jest funkcja f: [0, 2] → ℝ

f(x) = \{ \begin{matrix}x & dla x ∈ [0, 1) \\ 3 − x & dla x ∈ [1, 2] \end{matrix} .

Sprawdzić, czy f osiąga swoje kresy na każdym odcinku domkniętym zawartym w [0, 2]. Czy f ma własność Darboux na każdym takim odcinku?

15. Korzystając z twierdzenia Darboux, sprawdzić, czy poniższe równania mają rozwiązania rzeczywiste:

(a) 3^{x} − 2^{x} = 5; (b) x lnx = 2; (c) x^{8}(1 − x^{5}) = 1; (d) x^{8}(1 − x^{6}) = 1.

16. Udowodnić, że każde równanie postaci x^{n} + a_{n−1} x^{n−1} + ⋯+ a_{1}x + a_{0} = 0, gdzie n jest nieparzyste, ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

17. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji w podanych zbiorach:

(a) f(x) = sinx, x ∈ [0, π]; x ∈ ℝ;

(b) f(x) = \sqrt{x}, x ∈ [0, 1]; x ∈ [1, ∞);

(c) f(x) = sinx^{2}, x ∈ [0, 2π]; x ∈ ℝ;

(d) f(x) = \frac{x}{|x|+1} , x ∈ ℝ.

18. Wykazać, że suma funkcji ciągłych jednostajnie na zbiorze D jest funkcją ciągłą jednostajnie na D. Czy twierdzenie takie jest prawdziwe dla iloczynu?

19. Mówimy, że funkcja f: [a, b] → ℝ spełnia na [a, b] warunek Lipschitza ze stałą L, gdy dla dowolnych x, y ∈ [a, b] zachodzi

|f(x) − f(y) | L |x − y |.

Pokazać, że funkcja f spełniająca warunek Lipschitza na ⟨a, b⟩ jest tam jednostajnie ciągła.

20. Niech f będzie jednostajnie ciągła na odcinku (a, b). Uzasadnić, że funkcję f można przedłużyć jednoznacznie do funkcji ciągłej (jednostajnie) na odcinku domkniętym [a, b], tzn. istnieje ciągła funkcja f̄: ⟨a, b⟩ → ℝ, taka, że f(x) = f̄(x) dla x ∈ (a, b).