ANALIZA MATEMATYCZNA E1, WPPT POCHODNE (cz. 1)

1. Zbadać istnienie pochodnej funkcji y = f(x) w punkcie x_{0} = 0 dla:

(a) y = x · |x|; (b) y = \{ \begin{matrix}x^{2} · lnx & dla x > 0 \\ 0 & dla x 0 \end{matrix} ;

(c) y = x^{\frac{2}{3}}; (d) y = \{ \begin{matrix}e^{x} & dla x ∈ ℚ \\ x + 1 & dla x ∉ ℚ \end{matrix} .

2. Niech x_{0} ∈ ℝ. Dobrać stałe a i b tak, aby funkcja f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} & dla x x_{0} \\ ax + b & dla x > x_{0} \end{matrix} miała pochodną w punkcie x_{0}.

3. Wyznaczyć zbiór tych wartości parametru α ∈ ℝ, dla których funkcja

f(x) = \{ \begin{matrix}|x|^{α} sin \frac{1}{x} & dla x ≠ 0 \\ 0 & dla x = 0 \end{matrix}

ma pochodną w punkcie x_{0} = 0.

4. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji:

(a) f(x) = \sqrt[3]{x}; (b) f(x) = sin \frac{1}{x} (x ≠ 0); (c) f(x) = a^{x} (a > 0);

(d) f(x) = ctgx (x ≠ kπ, k ∈ ℤ).

5. Niech a, b > 0 i niech istnieje f′(x_{0}). Wykazać, że

lim_{h↦0} \frac{f(x_{0} + ah) − f(x_{0} − bh)}{(a + b)h} = f′(x_{0}).

Podać przykład funkcji f, która w punkcie nieciągłości x_{0} posiada granicę

lim_{h↦0} \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0} − h)}{2h} .

6. Niech f(x) = |x|^{3}. Pokazać, że nie istnieje f′′′(0).

7. Funkcja f posiada pochodną w punkcie x_{0} ∈ ℝ. Podać warunek konieczny i dostateczny na to, by |f(x)| też miała w punkcie x_{0} ∈ ℝ pochodną.

8. Obliczyć pochodne funkcji:

(a) f(x) = (2^{x^{3}} + sinx^{2})^{−1} ; (b) f(x) = \sqrt[3]{x} · 2^{tg 5x}; (c) f(x) = e^{arc sin ^{\sqrt{x^{2}+1}}} ;

(d) f(x) = log_{3} ( log_{5}(log_{7} x)); (e) f(x) = ln^{4} ( arc tg \sqrt{x^{4} + 3^{x} + 1} );

(f) f(x) = 2^{\frac{x}{ln x}};  (g) f(x) = (sinx)^{cos x};  (h) f(x) = x^{x^{x}}

9. Wykorzystując twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzory na pochodne funkcji odwrotnych do funkcji hiperbolicznych.

10. Czy istnieją różne od stałych funkcje f, g, dla których [fg]′(x) = f′(x)g′(x)?

11. Podać przykład funkcji parzystej f, dla której f′(0) = 0 pomimo, że w punkcie x_{0} = 0 funkcja f nie ma ekstremum (nawet niewłaściwego).

12. Udowodnić, że jeśli dwie funkcje różniczkowalne f i g spełniają dla wszystkich x nierówność f′(x)g(x) ≠ f(x)g′(x), to pomiędzy każdymi dwoma pierwiastkami równania f(x) = 0 znajduje się pierwiastek równania g(x) = 0.

13. Dowieść, że jeśli pochodna f′(x) jest różnowartościowa, to dla każdego x_{0} krzywa y = f(x) leży po jednej stronie stycznej w tym punkcie. Wywnioskować stąd, że e^{x} > 1 + x dla x ≠ 0.

14. Dowieść, że dla x > −1 zachodzi \frac{x}{1 + x} ln(x + 1) x.

Wykorzystując ten fakt wykazać istnienie granicy (zwanej stałą Eulera; ≈ 0, 5772):

lim_{n↦∞} [1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n} − ln(n)].

15. Uzasadnić tożsamości:

(a) arc ctgx = arc sin \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = arc tg \frac{1}{x} (x > 0)

(b) arc tgx = − arc tg(−x) = \frac{π}{2} − arc ctgx = arc sin \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

16. Pokazać, że jeśli a_{0}, a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ oraz a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{3} + … + \frac{a_{n}}{n+1} = 0, to wielomian w(x) = a_{n}x^{n} +a_{n−1} x^{n−1} +…+a_{1}x+a_{0} posiada pierwiastek rzeczywisty x_{0} ∈ (0, 1).

17. Udowodnić, że równanie x^{13} + 7x^{3} − 5 = 0 ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty dodatni.

18. Niech f będzie różniczkowalna na (0, +∞) i niech lim_{x→+∞} f′(x) = 0. Wykazać, że

lim_{x→+∞} (f(x + 1) − f(x)) = 0.

19. Niech f będzie ciągłą funkcją rzeczywistą na ℝ, różniczkowalną w każdym punkcie x ≠ 0 i taką, że lim_{x→0}f′(x) = 3. Czy wynika stąd, że istnieje f′(0)?

20. Niech f będzie funkcją ciągła na [0, +∞), różniczkowalną na (0, +∞) oraz taką, że f(0) = 0 i f′ jest rosnąca. Pokazać, że funkcja \frac{f(x)}{x} jest rosnąca na (0, +∞).

21. Pokazać, że funkcja f: (a, b) ↦ ℝ o pochodnej ograniczonej na (a, b) jest jednostajnie ciągła.

22. Zbadać przebieg zmienności funkcji:

(a) f(x) = x^{2}e^{−x} ;  (b) f(x) = (x + 2)^{2}(x − 1)^{3};  (c) f(x) = cosx − cos^{2} x.

23. Udowodnić, że:

(a) wśród prostokątów o stałym obwodzie największe pole ma kwadrat;

(b) wśród trójkątów o stałym obwodzie największe pole ma trójkąt równoboczny.