ANALIZA MATEMATYCZNA E1, WPPT

POCHODNE (cz. 2)

1. Niech p 1, ustalone. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x^{p} + (1 − x)^{p} na odcinku [0, 1].

2. Do rzeki o szerokości a dochodzi pod kątem prostym kanał o szerokości b < a. Znaleźć długość największej kłody drewna, którą można spławić tym kanałem do rzeki. W obliczeniach zaniedbać grubość kłody.

3. Funkcja f jest parzysta i różniczkowalna na przedziale (−a, a). Pokazać, że f′ jest funkcją nieparzystą na tym przedziale.

4. Funkcja f jest różniczkowalna na przedziale [a, b] oraz f(a) = f(b). Wykazać, że istnieję takie dwa punkty x, y ∈ (a, b), x ≠ y, że f′(x) + f′(y) = 0.

5. Dla podanych funkcji znaleźć f′(x), f′_{+}(x), f′_{−}(x), f′′(x) dla wszystkich x, dla których wymienione obiekty sę dobrze określone.

(a) f(x) = [x] sin(πx); (b) f(x) = sin(π(x − [x])).

6. Niech y = f(x) będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wyznaczyć (f^{−1} )′′(y) zakładając, że pochodna ta istnieje.

7. Znaleźć f^{(n)}(x), jeśli

(a) f(x) = sin(ax);  (b) f(x) = sin^{2}(x);  (c) f(x) = sin^{4}(x) + cos^{4}(x).

8. Definiujemy

P_{n}(x) = \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{2} − 1)^{n}, x ∈ ℝ, n = 0, 1, 2, . . ..

(a) Wyliczyć jawnie kilka pierwszych funkcji P_{n}.

(b) Pokazać, że P_{n} jest wielomianem stopnia n.

(c) Udowodnić, że P_{n} ma n różnych pierwiastków w przedziale (−1, 1).

(d) Sprawdzić, że P_{n} spełnia następujące równanie różniczkowe Legendre’a:

(1 − x^{2})y′′− 2xy′+ n(n + 1)y = 0, y = y(x).

Uwaga: funkcje P_{n} są nazywane wielomianami Legendre’a.

9. Załóżmy, że funkcje f i g są n-krotnie różniczkowalne na przedziale (a, b). Udowodnić następujący wzór Leibniza dla pochodnej iloczynu tych funkcji:

(fg)^{(n)}(x) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x)g^{(n−k)} (x), x ∈ (a, b).

10. Sprawdzić, że dla funkcji f(x) = arc sinx prawdziwy jest wzór

(1 − x^{2})f′′(x) = xf′(x), x ∈ (−1, 1).

Stosując do obu stron tej relacji wzór Leibniza obliczyć f^{(n)}(0) dla n 2.

11. Dana jest funkcja f(x) = e^{−1/x^{2}} dla x > 0 oraz f(x) = 0 dla x 0. Pokazać, że f ma pochodne wszystkich rzędów na ℝ i f^{(n)}(0) = 0 dla każdego n ∈ ℕ.

12. Wyznaczyć wzór Taylora dla funkcji f(x) = e^{2\sqrt{x}} w punkcie bazowym x_{0} = 1 z pierwszą, drugą i trzecią resztą (w dowolnej postaci).

13. Wyznaczyć wzór Taylora dla funkcji f(x) = ln \frac{x}{x−1} w punkcie bazowym x_{0} = 2 z

n-tą resztą. Następnie ocenić błąd jaki popełniamy przyjmując, że

ln \frac{x}{x − 1} ≈ ln2 − \frac{x − 2}{2} + \frac{3(x − 2)^{2}}{8} dla |x − 2| 1/5.

14. Obliczyć \sqrt[3]{0, 95} z dokładnością do 10^{−3} .

15. Korzystając ze wzoru Taylora obliczyć

(a) lim_{x→0} \frac{e^{x} − e^{−x} − 2x}{x − sinx} ; (b) lim_{x→0} \frac{xe^{2x} + xe^{x} − 2e^{2x} + 2e^{x}}{(e^{x} − 1)^{3}} .

16. Wykazać, że:

(a) tg(x) − x = O(x − sinx) przy x → 0; (b) e^{x} − e^{sin x} = O(x^{3}) przy x → 0;

(c) x^{−1} = o(\sqrt[x]{x} − 1) przy x → ∞; (d) ln(1 − x) = o(1/ lnx) przy x → 1^{−} .

17. Obliczyć podane granice.

(a) lim_{x→0}(ctg^{2}(x) − 1/x^{2}); (b) lim_{x→0} ( \frac{sinx}{x}) ^{1/(1−cos x)} ;

(c) lim_{x→0^{+}} x^{1/(1+ln x)} ; (d) lim_{x→∞} ( \frac{2}{π} arc tgx) ^{x} .

18. Sprawdzić, czy można zastosować twierdzenie de L’Hospitala do obliczenia granic

lim_{x→∞} \frac{x − sinx}{2x + sinx} ,  lim_{x→0} \frac{x^{2} + x^{3} cos(1/x)}{sin^{2}(x)} .

Zadania nadobowiązkowe (niektóre o podwyższonym poziomie trudności):

1. Funkcja f: [0, 1] → [0, 1] jest ciągła na [0, 1], różniczkowalna na (0, 1), oraz f(0) = 0 i f(1) = 1. Udowodnić, że istnieją takie liczby x, y ∈ (0, 1), x ≠ y, że f′(x)f′(y) = 1.

2. Niech y = f(x) będzie różniczkowalna czterokrotnie. Wyznaczyć pochodne do czwartego rzędu funkcji odwrotnej zakładając, że pochodne te istnieją.

3. Wykazać, że dla n ∈ ℕ oraz x 0 zachodzą nierówności

0 e^{x} − ( 1 + \frac{x}{n}) ^{n} e^{x} ( 1 − ( 1 + \frac{x}{n}) ^{−x/2} ) .

4. Udowodnić, że jeżeli a, b > 0, to wtedy a^{b}+ b^{a} > 1.

5. Udowodnić, że każdy wielomian jest różnicą dwóch wielomianów rosnących.

6. Niech f będzie dwukrotnie różniczkowalna na przedziale (0, ∞) i załóżmy, że f′′jest ograniczona na (0, ∞) oraz lim_{x→∞} f(x) = 0. Pokazać, że lim_{x→∞} f′(x) = 0.