ANALIZA MATEMATYCZNA E1, WPPT

CAŁKI NIEOZNACZONE

1. Obliczyć całki nieoznaczone

a)∫ \frac{1 + 6^{x}}{4^{x}} dx,  ∫ \frac{dx}{(1 + x)\sqrt{x}} ,  ∫ \sqrt{2(1 + cos2x)} dx,  ∫ \frac{dx}{x(lnx)^{2}} ,
∫ e^{\sqrt{x}}dx,  ∫ x^{3}e^{−x} dx,  ∫ x sin \sqrt{x}dx,  ∫ \frac{xdx}{(cosx)^{2}},  ∫ (arcsinx)^{2}dx;

b)∫ \frac{dx}{x^{2} + 2x + 8} ,  ∫ \frac{5 − 4x}{x^{2} − 4x + 20} dx,  ∫ \frac{x}{4 + x^{4}} dx,  ∫ \frac{dx}{x^{2} + x^{4}} ,
∫ \frac{x^{2}}{(x^{2} + a^{2})^{2}} dx,  ∫ \frac{dx}{e^{x}(1 + e^{x})} ,  ∫ \frac{dx}{\sqrt{e^{x} − 1}} ,  ∫ \frac{dx}{\sqrt{1 + e^{x}} + \sqrt{1 − e^{x}}} ;

c)∫ \frac{sin2xdx}{sinx + cosx} ,  ∫ cos3xsin5xdx,  ∫ \frac{dx}{sin2xcosx},  ∫ sinx sin(x + \frac{π}{3})dx,

∫ \frac{dx}{a^{2}(sinx)^{2} + (cosx)^{2}} ;

d)∫ \frac{x^{2}}{\sqrt{4 − x^{2}}} dx,  ∫ \frac{dx}{x + \sqrt{x^{2} + x}} ,  ∫ \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 2x}} ,  ∫ \frac{xdx}{\sqrt{x − x^{2}}} ,

∫ \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{x + 1}{x − 1}} dx,  ∫ \frac{dx}{x + \sqrt[3]{x}} ,  ∫ \sqrt{1 + \sqrt{x}} dx;

e)∫ x|x|dx,  ∫ e^{−|x|} dx,  ∫ max{1, x^{2}}dx,  ∫ min{0, sinx}dx,

∫ f(x)dx, gdzie f(x) = 1 − x^{2} dla |x| 1 i f(x) = |x| − 1 dla |x| > 1.

2. Funkcja F (x) jest ciągła na ℝ i na przedziałach niezawierających punktów postaci nπ (n ∈ ℤ) jest funkcją pierwotną funkcji sgn(sinx). Narysować wykres tej funkcji wiedząc, że F (0) = 0.

3. Funkcja F (x) jest ciągła na ℝ i na przedziałach (−∞, 0) oraz (0, ∞) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) = \frac{1}{1+|x|} . Znaleźć F (x) i narysować jej wykres, jeśli F (0) = 1.

4. Wiadomo, że f′(x^{2}) = \frac{1}{x} (x > 0). Czy można znaleźć f(x)?

5. Znaleźć wzory rekurencyjne dla całek

I_{n} = ∫ \frac{dx}{(cosx)^{n}} ,  J_{n} = ∫ (lnx)^{n}dx,  R_{n} = ∫ \frac{x^{n}}{\sqrt{x^{2} + 1}} dx,  S_{n} = ∫ x^{n}e^{−x} dx.

6. Niech funkcja f(x) będzie monotoniczną funkcją ciaglą a f^{−1} (x) jej funkcją odwrotną. Dowieść, że jeżeli ∫ f(x)dx = F (x) + C, to

∫ f^{−1} (x)dx = xf^{−1} (x) − F (f^{−1} (x)) + C.