ANALIZA MATEMATYCZNA E1, WPPT

CAŁKA OZNACZONA

1. Oblicz całki: (a) ∫_{0}^{2} |1 − x| dx,  (b) ∫_{0}^{3} sgn(x − x^{3}) dx,  (c) ∫_{0}^{π} e^{cos x} sinx dx.

2. Korzystając ze wzoru Newtona–Leibniza wykaż, że

(a) lim_{n→∞} ( \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ⋯+ \frac{1}{n + n} ) = ln2; (b) lim_{n→∞} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{e};

(c) lim_{n→∞} ( \frac{n}{n^{2} + 1^{2}} + \frac{n}{n^{2} + 2^{2}} + ⋯+ \frac{n}{n^{2} + n^{2}} ) = \frac{π}{4}.

3. Uzasadnij, że dla m, n 0

∫_{0}^{1} x^{m}(1 − x)^{n} dx = ∫_{0}^{1} x^{n}(1 − x)^{m} dx.

4. Wyprowadź wzór na ∫_{0}^{π/2} sin^{n} x dx dla n ∈ N (wskazówka: postać wzoru zależy od parzystości n). Następnie udowodnij wzór Wallisa:

π = lim_{n→∞} \frac{1}{n} ( \frac{2 · 4 · . . . · 2n}{1 · 3 · . . . · (2n − 1)}) ^{2} .

5. Udowodnij nierówność Schwarza

( ∫_{a}^{b}f(x)g(x) dx) ^{2} ∫_{a}^{b}f^{2}(x) dx · ∫_{a}^{b}g^{2}(x) dx

dla dowolnych f, g ∈ R[a, b]. Kiedy w powyższej nierówności zachodzi równość?

6. Korzystając m.in. z nierówności Schwarza udowodnij nierówność

1 ∫_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{4}} dx \sqrt{1,2}.

7. Funkcja f: [0, b] → ℝ jest różniczkowalna w sposób ciągły i znika w pewnym prawostronnym otoczeniu zera oraz w pewnym lewostronnym otoczeniu punktu b. Udowodnij następującą nierówność (Hardy’ego)

∫_{0}^{b} \frac{f^{2}(x)}{x^{2}} dx 4 ∫_{0}^{b}(f′(x))^{2} dx.

Wskazówka: skorzystaj z nierówności Schwarza i ze wzoru na całkowanie przez części.

8. Funkcja f : [a, b] → ℝ jest wypukła i ciągła. Udowodnij, że

f ( \frac{a + b}{2} ) \frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b}f(x) dx \frac{f(a) + f(b)}{2} .

9. Załóżmy, że f jest funkcją ciągłą na przedziale [−a, a], gdzie a > 0. Udowodnij, że (i) ∫_{−a}^{a} f(x)dx = 0, gdy f jest funkcją nieparzystą; (ii) ∫_{−a}^{a} f(x)dx = 2 ∫_{0}^{a} f(x)dx, gdy f jest funkcją parzystą. Korzystając m.in. z powyższych własności oblicz całki

(a) ∫_{−1/2}^{1/2} ln \frac{1 + x}{1 − x} dx; (b) ∫_{−π/2}^{π/2} cos^{3} x e^{sin |x|} dx.

10. Niech f(x) = ∫_{x}^{x+1} sin(t^{2}) dt. Uzasadnij, że f(x) \frac{2}{x} dla x 0. Wskazówka: podstaw u = t^{2}, a następnie skorzystaj z II twierdzenia o wartości średniej dla całek.

11. Załóżmy, że f jest funkcją ciągłą na półprostej [0, ∞) i taką, że istnieje skończona granica lim_{x→∞} f(x) = A . Oblicz

lim_{x→∞} \frac{1}{x} ∫_{0}^{x} f(t) dt.

12. Oblicz pola figur ograniczonych krzywymi: (a) y = x^{2} i x = y^{2}; (b) x^{2} + y^{2} = 8 i 2y = x^{2}.

13. Oblicz pole (a) figury ograniczonej pętlą linii y^{2} = x(x − 1)^{2}; (b) wycinka elipsy (x/2)^{2} + y^{2} = 1 ograniczonego prostymi y = 0 i 2y = x.

14. Wyprowadź wzór na moment bezwładności jednorodnego stożka względem jego osi symetrii. Wymiary i masa stożka są dane.

15. Udowodnij pierwsze twierdzenie Guldina: Pole powierzchni utworzonej przez obrót łuku y = f(x) wokół osi OX jest iloczynem długości tego łuku przez długość drogi zakreślonej przy tym obrocie przez środek ciężkości tego łuku.

16. Udowodnij drugie twierdzenie Guldina: Objętość bryły utworzonej przez obrót trapezu krzywoliniowego wyznaczonego krzywą y = f(x) na odcinku [a, b] wokół osi OX jest iloczynem pola tego trapezu przez długość drogi zakreślonej przy tym obrocie przez środek ciężkości tego trapezu.

17. Wyprowadź wzór Ciołkowskiego

v = w ln \frac{m_{0}}{m},

w którym v jest prędkością końcową rakiety, w – prędkością gazów odrzutowych, m_{0} – masą początkową, a m – masą końcową rakiety. Zakładamy, że rakieta ma zerową prędkość początkową i że nie działają na nią żadne zewnętrzne siły. Ilość paliwa spalanego w jednostce czasu nie musi być stała! Wskazówka: skorzystaj z zasady zachowania pędu.

18. Wiedząc, że funkcje ciągłe są całkowalne, oblicz (z definicji) całki

(a) ∫_{0}^{π} sinx dx; (b) ∫_{0}^{1} 2^{x}dx.

19. Wykorzystując własności całek oznaczonych Riemanna pokaż, że

(a) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1 + x} dx = 0; (b) lim_{n→∞} ∫_{−1}^{1} \frac{(sinx)^{n}}{a + sinπx} dx = 0, a ∈ (1, ∞).