ANALIZA MATEMATYCZNA E1, WPPT CAŁKA RIEMANNA

1. Sprawdź, czy poniższe funkcje są całkowalne i oblicz ich całki dolną i górną:

(a) f(x) = x^{2}, x ∈ [0, 1]; (b) f(x) = \frac{1}{x^{2}}, x ∈ [a, b], a > 0;

(c) f(x) = \{ \begin{matrix}x & dla x ∈ [0, 1] ∩ ℚ, \\ 0 & dla x ∈ [0, 1] \ ℚ; \end{matrix}

(d) f(x) = \{ \begin{matrix}0 & dla x ∈ [0, 1] \ ℚ, \\ \frac{1}{n} & dla x = \frac{m}{n}, gdzie 0 < m n są względnie pierwsze, \\ 1 & dla x = 0. \end{matrix}

2. Podaj przykład funkcji niecałkowalnej na przedziale [0, 1] i takiej, żeby wartość bezwzględna tej funkcji była na tym przedziale całkowalna.

3. Uzasadnij, że dla dowolnych funkcji ograniczonych na przedziale domkniętym [a, b]

zachodzi nierówność

(∗) \overline{∫_{a}^{b}(f(x) + g(x)) dx} \overline{∫_{a}^{b}f(x) dx} + \overline{∫_{a}^{b}g(x) dx};

a jeśli jedna z funkcji jest całkowalna, to w (∗) zachodzi równość. Podaj przykład funkcji, dla których zachodzi nierówność ostra.

4. Niech f ∈ R[a, b] (R[a, b] oznacza rodzinę funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na przedziale [a, b]). Określamy funkcje f^{+} , f^{−} na [a, b] przyjmując

f^{+} (x) = \{ \begin{matrix}f(x) & gdy f(x) 0, \\ 0 & gdy f(x) < 0, \end{matrix} f^{−} (x) = \{ \begin{matrix}0 & gdy f(x) 0, \\ −f(x) & gdy f(x) < 0. \end{matrix}

Wykaż, że f^{+} , f^{−} ∈ R[a, b]. Jaki jest związek pomiędzy całkami z funkcji f^{+} , f^{−} i f?

5. Załóżmy, że f ∈ R[a, b], f(x) 0 dla wszystkich x ∈ [a, b] oraz ∫_{a}^{b}f(x) dx = 0. Uzasadnij, że jeśli f jest ciągła w punkcie x_{0} ∈ [a, b], to f(x_{0}) = 0.

6. Załóżmy, że f ∈ R[a, b] nie jest równa tożsamościowo zeru oraz ∫_{a}^{b}f(x) dx = 0. Uzasadnij, że istnieją x, y ∈ [a, b] takie, że f(x)f(y) < 0.

7. Sprawdź, że następujące zbiory są miary Lebesgue’a zero:

(a) zbiór jednopunktowy i ogólniej zbiór skończony;

(b) suma dwóch i ogólniej przeliczalnej rodziny zbiorów miary Lebesgue’a zero;

(c) zbiór liczb wymiernych.

8. Zbiór Cantora C definiujemy następująco

C = [0, 1] \ ( ⋃_{n=0}^{∞} ⋃_{k=0}^{3^{n} −1} ( \frac{3k + 1}{3^{n+1}} , \frac{3k + 2}{3^{n+1}} ) ) .

Udowodnij, że C jest nieprzeliczalny i miary Lebesgue’a zero.

9. Oblicz całki: (a) ∫_{0}^{π/2} x^{2} d(cosx), (b) ∫_{−1}^{1} sgnx d(e^{x}).

10. Funkcje f, g : [0, 1] → [0, 1] są rosnące oraz f(g(x)) = x dla każdego x ∈ [0, 1]. Udowodnij, że ∫_{0}^{1} g(x) dx = ∫_{0}^{1} y df(y).