ANALIZA MATEMATYCZNA D2, WPPT

SZEREGI LICZBOWE

1. Podać przykład szeregu ∑ _{n=1}^{∞} a_{n}

(a) rozbieżnego i takiego, że szereg (a_{1} + a_{2}) + (a_{3} + a_{4}) + ⋯jest zbieżny.

(b) rozbieżnego, naprzemiennego, o składniku ogólnym dążącym do zera.

(c) zbieżnego, o wyrazach dodatnich i takiego, że nie istnieje lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} .

2. Obliczyć ∑ _{n=2}^{∞} dla: (1) a_{n} = \frac{4n}{(n^{2}−1)^{2}} , (2) a_{n} = \frac{1}{n(n+1)(n+2)} , (3) a_{n} = (−1)^{n} ln(\frac{n}{n+2} ).

3. Zbadać zbieżność ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} dla:

(1) a_{n} = \frac{n^{n^{2}} 2^{n}}{(n+1)^{n^{2}}} , (2) a_{n} = \frac{ln n}{3^{n}}, (3) a_{n} = \frac{\sqrt{n+1} −\sqrt{n}}{n} , (4) a_{n} = \sqrt{n + 1} − \sqrt{n},

(5) a_{n} = \frac{n!}{n^{n}} (\frac{2n+1}{n+5} )^{n}, (6) a_{n} = (\sqrt[n]{n} − 1)^{n}, (7) a_{n} = \frac{n^{2004} +1}{e^{n}} ,

(8) a_{n} = \frac{1}{n} ln(1 + \frac{1}{n}), (9) a_{n} = sin \frac{1}{n}, (10) a_{n} = (\frac{3}{ln n})^{n}, (11) a_{n} = e^{2n}(\frac{n}{n+1} )^{n^{2}},

(12) a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} , (13) a_{n} = ln \frac{n}{n−1} − \frac{1}{n}, (14) a_{n} = (\frac{n}{n+1} )^{n(n+1)} ,

(15) a_{n} = \frac{λ^{n} n!}{n^{n}} (λ ∈ ℝ), (16) a_{n} = n^{ln λ} (λ > 0).

4. Wykazać, że jeśli ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny, to:

(i) lim_{n→∞} na_{n} = 0, o ile 0 < a_{n+1} < a_{n} dla każdego n, (ii) lim_{n→∞} \frac{1}{n}(a_{1} + 2a_{2} + ⋯+ na_{n}) = 0.

5. Udowodnić, że zbieżność ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} pociąga zbieżność ∑ _{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n} , o ile a_{n} 0.

6. Niech {a_{n}} będzie ciągiem zadanym wzorem rekurencyjnym: a_{n+1} = a_{n} − na_{n}^{2}, a_{1} ∈ (0, 1). Wykazać zbieżność ∑ _{n=1}^{∞} a_{n}.

7. Udowodnić następujące kryterium: ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} o wyrazach nieujemnych jest zbieżny ⟺ istnieje ciąg liczb naturalnych p_{0} < p_{1} < p_{2} < … taki, że dla b_{n} = a_{p_{n−1} +1} + a_{p_{n−1} +2} + ⋯+ a_{p_{n}} zbieżny jest ∑ _{n=1}^{∞} b_{n}.

8. Udowodnić kryterium Kummera zbieżności szeregów: ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} o wyrazach dodatnich jest zbieżny ⟺ istnieje ciąg liczb dodatnich {b_{n}}_{n=1}^{∞} taki, że:

lim_{n→∞} (b_{n} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} − b_{n+1} ) > 0.

9. Korzystając z poprzedniego zadania, udowodnić kryterium Raabego: ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} o wyrazach dodatnich i taki, że lim_{n→∞} n(\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) > 1 jest zbieżny. Pokazać, że szereg może być zbieżny mimo że nie spełnia kryterium Raabego.

10. Wykorzystując kryterium Raabego rozstrzygnąć, kiedy szereg hipergeometryczny

1 + \frac{ab}{c · 1}+ \frac{a(a + 1)b(b + 1)}{c(c + 1) · 1 · 2} + \frac{a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2)}{c(c + 1)(c + 2) · 1 · 2 · 3} + ⋯,

gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz c ≠ 0, −1, −2, …, jest zbieżny.

11. Korzystając z kryterium o zagęszczaniu zbadać zbieżność szeregu ∑ _{n=3}^{∞} \frac{1}{n ln(n) ln[ln(n)]} .

12. Niech ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} i ∑ _{n=1}^{∞} b_{n} będą szeregami rozbieżnymi o wyrazach nieujemnych. Co można powiedzieć o zbieżności szeregów: ∑ _{n=1}^{∞} min(a_{n}, b_{n}) i ∑ _{n=1}^{∞} max(a_{n}, b_{n})?

13. Niech a_{n} > 0 i niech szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} będzie rozbieżny. Przyjmijmy s_{n} = ∑ _{k=1}^{n} a_{k}. (a) Wykazać, że ∑ _{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{1+a_{n}} jest rozbieżny.

(b) Wykazać, że ∑ _{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{s_{n}} jest rozbieżny. Wskazówka: udowodnić, że:

\frac{a_{N+1}}{s_{N+1}} + ⋯+ \frac{a_{N+k}}{s_{N+k}} 1 − \frac{s_{N}}{s_{N+k}} .

(c) Wykazać, że ∑ _{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{s_{n}^{2}} jest zbieżny. Wskazówka: udowodnić, że:

\frac{a_{n}}{s_{n}^{2}} \frac{1}{s_{n−1}} − \frac{1}{s_{n}} .

(d) Zbadać zbieżności szeregów ∑ _{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{1+na_{n}} i ∑ _{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}} . Co można powiedzieć o zbieżności szeregów z punktów (a)-(d), gdy ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} < ∞?

14. Zbadać zbieżność (warunkową i bezwzględną) szeregu ∑ _{n=1}^{∞} (−1)^{n} ln^{α}(1 + \frac{1}{n}), jeżeli: (i) 0 < α 1, (ii) 1 < α.

15. Niech 0 < λ < 1, x ∈ ℝ. Wykazać zbieżność szeregu

∑_{n=1}^{∞} \frac{x(x − 1) …(x − n + 1)}{n!} λ^{n}.

Wywnioskować, że lim_{n→∞} \frac{x(x−1)...(x−n+1)}{n!} λ^{n} = 0 dla |λ| < 1.

16. Udowodnić, że ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny bezwzględnie ⟺ dla dowolnego ciągu {ϵ_{n}}, ϵ_{n} = ±1, zbieżny jest ∑ _{n=1}^{∞} ϵ_{n}a_{n}.

17. Niech M ⊂ ℕ oznacza zbiór tych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra zero. Pokaż, że ∑ _{n∈M} \frac{1}{n} jest zbieżny.

18. Niech 0 < θ < π. Pokazać, że | ∑ _{n=1}^{N} sinnθ| < \frac{1}{sin \frac{1}{2} θ} niezależnie od N i wywnioskować, że jeśli ciąg a_{n} dąży malejąco do zera, to ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} sinnθ jest zbieżny dla wszystkich θ rzeczywistych, a ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} cosnθ jest zbieżny, jeżeli θ nie jest parzystą wielokrotnością π.

19. Wykazać, że jeśli {b_{n}} jest monotoniczny i ograniczony, a ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny, to także ∑ _{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} jest zbieżny.