ANALIZA MATEMATYCZNA D2, WPPT SZEREGI LICZBOWE II, ILOCZYNY NIESKOŃCZONE

1. Wykazać, że ∑ _{n=1}^{∞} (−1)^{n+1} \frac{1}{n} jest zbieżny i jego suma wynosi ln2. Wskazówka: Niech

σ_{n} = ∑_{k=1}^{n} (−1)^{k+1} \frac{1}{k}, s_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}, ϵ_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − lnn.

Zauważyć, że σ_{2n} = s_{2n} − s_{n} = ln2n + ϵ_{2n} − lnn − ϵ_{n}.

2. Wyznaczyć sumę szeregu

1 + \frac{1}{3} − \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} − \frac{1}{4} + ⋯+ \frac{1}{4n − 3} + \frac{1}{4n − 1} − \frac{1}{2n} + · · ·.

W powyższym szeregu zamienić kolejność sumowania tak, aby otrzymać szereg rozbieżny.

3. Udowodnić, że jeżeli (∀m, n)(a_{nm} 0), to ∑ _{n=1}^{∞} ∑ _{m=1}^{∞} a_{nm} = ∑ _{m=1}^{∞} ∑ _{n=1}^{∞} a_{nm}.

4. Pokazać, że bez założenia a_{nm} 0 twierdzenie z zadania 3. nie jest ogólnie praw-

dziwe. Wskazówka:

a_{nm} = \{ \begin{matrix}0 & dla n < m, \\ −1 & dla n = m, \\ 2^{m−n} & dla n > m. \end{matrix}

5. (a) Zbadać zbieżność iloczynu ∏ _{n=1}^{∞} a_{n} gdy:

(1) a_{n} = 1 + \frac{(−1)^{n+1}}{n} , (2) a_{n} = 1 + \frac{1}{n}, (3) a_{n} = 1 − \frac{1}{n},

(4) a_{n} = −1, (5) a_{n} = \frac{n}{t} sin \frac{t}{n}, gdzie t ∈ ℝ \ \{0\}.

(b) Obliczyć iloczyny ∏ _{n=1}^{∞} a_{n} dla: (1) a_{n} = 1 − \frac{1}{(n+1)^{2}} , (2) a_{n} = 1 + \frac{1}{n(n+2)} .

6. Pokazać, że następujące warunki są równoważne:

(a) Iloczyn nieskończony ∏ _{n=1}^{∞} (1 + |a_{n}|) jest zbieżny.

(b) Szereg ∑ _{n=1}^{∞} ln(1 + |a_{n}|) jest zbieżny.

(c) Szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny bezwzględnie. Mówimy wtedy, że iloczyn ∏ _{n=1}^{∞} (1 + a_{n}) jest zbieżny bezwzględnie. Pokazać, że wartość iloczynu nieskończonego zbieżnego bezwzględnie nie zależy od kolejności czynników.

7. Niech p_{1} < p_{2} < … będzie ciągiem złożonym ze wszystkich liczb pierwszych. Oznaczamy π(x) = #{n : p_{n} x}.

(a) Udowodnić, że dla dowolnych naturalnych x 2 mamy

1 + \frac{1}{2} + ⋯+ \frac{1}{x} ∏_{n=1}^{π(x)} ( ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{p_{n}^{k}}) π(x) + 1.

(Można stąd wydedukować, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele).

(b) Uzasadnić, że szereg ∑ _{n=1}^{∞} \frac{1}{p_{n}} jest rozbieżny.