ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)

Całki niewłaściwe, całki z parametrem

1. Oblicz całki niewłaściwe (a > 0, b ∈ ℝ)

(a) ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 − |x|}} ;  (b) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{2x^{2} − x + 3} ;  (c) ∫_{0}^{1} lnx dx; (d) ∫_{0}^{π} \frac{cosx dx}{(sinx)^{a}};

(e) ∫_{−1/2}^{3} \frac{x dx}{\sqrt{3 + 5x − 2x^{2}}} ;  (f) ∫_{0}^{∞} e^{−ax} sinbx dx;  (g) ∫_{−1}^{1} \frac{sinx dx}{\sqrt{1 − x^{2}}} .

2. Zbadaj zbieżność całek

(a) ∫_{1}^{∞} \frac{sin2x dx}{xe^{−x} + x^{2} − 1} ; (b) ∫_{1}^{∞} \frac{(arctgx)^{x}}{e^{x} − e} dx; (c) ∫_{0}^{∞} (x^{−3/2} + x^{4})e^{−x} sin5x dx.

3. Udowodnij kryterium ilorazowe: Załóżmy, że (1) f, g ∈ R[a, T] dla dowolnego T > a

oraz f(x) > 0 i g(x) > 0 dla wszystkich x a i (2) lim_{x→∞} \frac{f(x)}{g(x)} = μ , gdzie 0 < μ < ∞.

Wówczas całka ∫_{a}^{∞} f(x) dx jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy ∫_{a}^{∞} g(x) dx jest zbieżna.

4. Sformułuj i udowodnij kryterium ilorazowe dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju.

5. Sprawdź zbieżność całek

(a) ∫_{√ \overline{2}}^{∞} \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} − 1}} ;  (b) ∫_{1}^{∞} \frac{(x + \sqrt{x + 1} ) dx}{x^{2} + 2\sqrt[5]{x^{4} + 1}} ;  (c) ∫_{0}^{2} \frac{ln(1 + \sqrt[5]{x^{3}})}{e^{sin x} − 1} dx;

(d) ∫_{0}^{1} \frac{sinx dx}{x^{a}};  (e) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{e^{x} − cosx} ;  (f) ∫_{1}^{∞} sin \frac{1}{x} dx.

6. Zbadaj zbieżność (bezwzględną, warunkową) całek w zależności od parametru a ∈ ℝ

(a) ∫_{1}^{∞} \frac{sinx}{x^{a}} dx;  (b) ∫_{1}^{∞} \frac{cosx}{x^{a}} dx;  (c) ∫_{1}^{∞} \frac{lnx}{x} cosx dx;

(d) ∫_{1}^{∞} \frac{(−1)^{[x]+1}}{\sqrt{x}} dx;  (e) ∫_{0}^{∞} sin(x^{2}) dx;  (f) ∫_{1}^{∞} \frac{sin^{2} x}{x} dx.

(g) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{e^{x^{a}} − 1} ;  (h) ∫_{0}^{π/2}(tgx)^{a} x;  (i) ∫_{0}^{1} \frac{sin \frac{1}{x}}{ln(1 + x)} dx;

7. Narysuj wykres funkcji f: [0, ∞) → [0, ∞) spełniającej warunki: (1) f jest ciągła; (2) całka ∫_{0}^{∞} f(x) dx jest zbieżna; (3) lim sup_{x→∞}f(x) = ∞ .

8. Załóżmy, że funkcja f jest (słabo) malejąca na przedziale [0, ∞) i całka ∫_{0}^{∞} f(x) dx jest zbieżna. Udowodnij, że wówczas lim_{x→∞} xf(x) = 0 . Porównaj z analogicznym zadaniem dla szeregów.

9. Stosując kryterium całkowe zbadaj zbieżność szeregów w zależności od wartości parametrów a, b ∈ ℝ

(a) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n lnn ln^{a}(lnn)};  (b) ∑_{n=1}^{∞} ne^{an};  (c) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{a} ln^{b}n}.

10. Określ dziedzinę funkcji F (y) = ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} . Czy jest ona ciągła, różniczkowalna w swojej dziedzinie?

11. Funkcję B (beta) definiujemy wzorem

B(a, b) = ∫_{0}^{1} x^{a−1} (1 − x)^{b−1} dx

dla a, b > 0. Uzasadnij, że

(a) powyższa definicja jest poprawna, tj. całka jest zbieżna;

(b) B(a, b) = B(b, a);

(c) B(a, b) = \frac{b−1}{a+b−1} B(a, b − 1) dla b > 1;

(d) B jest funkcją różniczkowalną;

(e) zachodzi wzór

B(a, b) = \frac{Γ(a)Γ(b)}{Γ(a + b)}.

12. Funkcje Bessela pierwszego rodzaju rzędu n (n = 0, 1, …) definiujemy wzorem

J_{n}(x) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} cos(nt − x sint) dt.

Uzasadnij, że funkcje te są dwukrotnie różniczkowalne i spełniają równania:

(a) J′_{n}(x) = \frac{1}{2}(J_{n−1} (x) + J_{n+1} (x)) ;

(b) x^{2}J′′_{n}(x) + xJ′_{n}(x) + (x^{2} − n^{2})J_{n}(x) = 0.

13. Niech f będzie nieujemną funkcją ciągłą na zbiorze [a, ∞) × [c, d]. Udowodnij, że jeśli funkcja F (y) = ∫_{a}^{∞} f(x, y) dx jest (dobrze określona i) ciągła na [c, d], to całka ∫_{a}^{∞} f(x, y) dx jest zbieżna jednostajnie względem parametru y ∈ [c, d].

14. Udowodnij, że dla a 0

∫_{0}^{∞} \frac{arctgax}{x(1 + x^{2})} dx = \frac{π}{2} ln(1 + a).

Wskazówka: zróżniczkuj powyższą równość po parametrze a.

15. Udowodnij, że

∫_{0}^{∞} \frac{1 − e^{−x}}{x} cosx dx = ln \sqrt{2}.

Wskazówka: zróżniczkuj po a całkę ∫_{0}^{∞} \frac{1 − e^{−ax}}{x} cosx dx.