ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)

Szeregi Fouriera

Dla funkcji f całkowalnej na [−π, π] oznaczamy

a_{n}(f) = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) cosnx dx, b_{n}(f) = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) sinnx dx,
c_{n}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{−inx} dx.

Czasami piszemy też krótko a_{n}, b_{n}, c_{n}, jeśli jest jasne, o jaką funkcję f chodzi.

1. Niech f będzie funkcją okresową o okresie 2π i całkowalną na przedziale [−π, π]. Udowodnij, że f jest całkowalna na każdym przedziale postaci [a − π, a + π] dla a ∈ ℝ, przy tym ∫_{a−π}^{a+π} f(x) dx = ∫_{−π}^{π} f(x) dx.

2. Znajdź związek pomiędzy współczynnikami a_{n}, b_{n} i c_{n}.

3. Sprawdź, że jeśli funkcja f całkowalna na przedziale [−π, π] spełnia dodatkowo warunek (a) f(x + π) = f(x) lub (b) f(x + π) = −f(x), to w pierwszym przypadku a_{2m−1} = b_{2m−1} = 0, a w drugim a_{2m} = b_{2m} = 0.

4. Rozwiń funkcję f na przedziale (−π, π) w szereg Fouriera, znajdź sumę tego szeregu, a następnie wyznacz podane sumy szeregów liczbowych.

(a) f(x) = x,  ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1} = \frac{π}{4} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} ;

(b) f(x) = x^{2} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{12} ,

∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{(2n + 1)^{2}} = \frac{π^{2}}{8} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} = \frac{π^{4}}{90} .

Wskazówka do niektórych przykładów: skorzystaj z tożsamości Parsevala.

5. Niech f: ℝ → ℝ będzie funkcją ciągłą. Udowodnij, że dla dowolnych −∞ < a <

b < ∞

lim_{t→0}∫_{a}^{b}|f(x) − f(x + t)| dx = 0.

6. (Lemat Riemanna–Lebesgue’a) Niech f: ℝ → ℝ będzie 2π-okresową funkcją ciągłą.

Udowodnij, że

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} = lim_{|n|→∞} c_{n} = 0.

Wskazówka: w całce definiującej n-ty współczynnik Fouriera podstaw y = x − \frac{π}{n}.

7. Niech f będzie funkcją okresową o okresie 2π i całkowalną na przedziale [−π, π]. Załóżmy, że ∫_{−π}^{π} f(x) dx = 0 i zdefiniujmy funkcję F wzorem

F (x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt, x ∈ ℝ.

Sprawdź, że F jest ciągła i 2π-okresowa. Załóżmy dodatkowo, że f jest ciągła. Oblicz c_{n}(F) w zależności od c_{n}(f) oraz uzasadnij, że

lim_{|n|→∞} nc_{n}(F) = 0.

8. Podaj przepis na rozwijanie funkcji f całkowalnej na przedziale [0, π] w szereg Fouriera złożony z samych (a) kosinusów; (b) sinusów. Rozwiń funkcję sinus na przedziale [0, π] w szereg Fouriera złożony z samych kosinusów. Następnie wykaż, że

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{4n^{2} − 1} = \frac{π − 2}{4} ,  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{4n^{2} − 1} = \frac{1}{2},  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(4n^{2} − 1)^{2}} = \frac{π^{2} − 8}{16} .

Jak rozwinąć funkcję f(x) = x^{2}, 0 x < π, w szereg Fouriera złożony z samych sinusów?

9. Udowodnij równości

(a) sgnx = \frac{4}{π} ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(2n − 1)x}{2n − 1} , dla −π < x < π ,

(b) \frac{3x^{2} − 6πx + 2π^{2}}{12} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cosnx}{n^{2}}, dla 0 x π .

10. Załóżmy, że funkcja f ma postać f(x) = W (cosx, sinx), gdzie W jest pewnym wielomianem dwóch zmiennych. Opisz procedurę wyznaczania szeregu Fouriera funkcji f bez obliczania współczynników Fouriera. (Wskazówka: użyj m.in. wzorów Eulera). Napisz szereg Fouriera funkcji f, jeśli: (a) f(x) = sin^{2} x; (b) f(x) = sin^{3} x cos^{2} x; (c) f(x) = cos^{4} x. Czy można uogólnić tą procedurę na przypadek, gdy W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych? Znajdź poniższe rozwinięcie funkcji f w szereg Fouriera

(d) f(x) = \frac{1 − a^{2}}{1 − 2a cosx + a^{2}} = 1 + 2 ∑_{n=1}^{∞} a^{n} cosnx, |a| < 1.

11. Wyznacz podane sumy szeregów trygonometrycznych

∑_{n=1}^{∞} \frac{sinnx}{n!} = e^{cos x} sin(sinx);  ∑_{n=0}^{∞} \frac{cosnx}{n!} = e^{cos x} cos(sinx).