ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA) Funkcje wielu zmiennych

1. Wyznacz dziedzinę funkcji

f(x, y) = \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2} − x}{2 − x^{2} − y^{2}}} ; g(x, y, z) = ln(xyz); h(x, y, z) = arcsin \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{z} .

2. Naszkicuj poziomice i wykresy funkcji

f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + 2y^{2}} ; g(x, y) = ln(x^{2} + y^{2}); h(x, y) = x^{2} − y^{2}.

3. Oblicz granice, jeśli istnieją

(a) lim_{(x,y)→(1,1)} \frac{x + y − 2}{x^{2} + y^{2} − 2} ,  (b) lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{1 − cos(x^{2} + y^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{2}} ,
(c) lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} ,  (d) lim_{(x,y)→(π,0)} \frac{sin^{2} x}{y^{2}}.

4. Pokaż, że dla funkcji f(x, y) = (x − y)/(x + y) mamy

lim_{x→0}(lim_{y→0}f(x, y)) = 1, lim_{y→0}(lim_{x→0}f(x, y)) = −1,

a lim_{x,y→0} f(x, y) nie istnieje.

5. Pokaż, że dla funkcji f(x, y) = x^{2}y^{2}/(x^{2}y^{2} + (x − y)^{2}) mamy

lim_{x→0}(lim_{y→0}f(x, y)) = lim_{y→0}(lim_{x→0}f(x, y)) = 0,

a jednak lim_{x,y→0} f(x, y) nie istnieje.

6. Narysuj poziomice funkcji

f(x, y) = \{ \begin{matrix}1 & gdy x^{2} < y < 2x^{2}, \\ 0 & w przeciwnym razie. \end{matrix}

Sprawdź, że dla dowolnych a, b ∈ ℝ zachodzi lim_{t→∞} f(at, bt) = 0, a mimo to granica lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) nie istnieje.

7. Oblicz lim_{x→a} (lim_{y→b} f(x, y)) oraz lim_{y→b} (lim_{x→a} f(x, y)) jeśli (i) f(x, y) = (x^{2} + y^{2})/(x^{2} + y^{4}), a = b = ∞; (ii) f(x, y) = \frac{1}{xy} tg \frac{xy}{1+xy} , a = 0, b = ∞.

8. Oblicz granice

lim_{x,y→∞} \frac{x + y}{x^{2} − xy + y^{2}} , lim_{x,y→∞} (xy/(x^{2} + y^{2}))^{x^{2}}.