ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

1. Korzystając z definicji zbadaj istnienie pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu podanych funkcji w punkcie (0, 0)

f(x, y) = \{ \begin{matrix}1 & dla xy = 0, \\ 0 & dla xy ≠ 0; \end{matrix} g(x, y) = \{ \begin{matrix}x & dla y = 0, \\ y^{2} & dla x = 0, \\ 1 & dla xy ≠ 0. \end{matrix}

2. Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji

f_{1}(x, y) = arctg \frac{1 − xy}{x + y} , f_{2}(x, y) = e^{sin ^{\frac{x}{y}}} , f_{3}(x, y) = y^{x}, f_{4}(x, y) = arccos \frac{x}{y},

f_{5}(x, y, z) = \frac{x}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} , f_{6}(x, y, z) = sin(x cos(y sinz)).

3. Korzystając z reguł różniczkowania funkcji złożonych oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem x i y funkcji:

(a) z = f(u, w) = ln \frac{u}{1 + w} ,  u(x, y) = x siny, w(x, y) = x cosy;
(b) z = f(u, v, w) = arcsin \frac{u}{v + w} ,  u(x, y) = e^{\frac{x}{y}} , v(x, y) = x^{2} + y^{2}, w(x, y) = 2xy.

4. Oblicz gradient i pochodną kierunkową funkcji f we wskazanych punktach P i kierunkach a

f(x, y, z) = xy^{2}z, a = [4, 3, 12], P = (5, 1, 2);
g(x, y, z) = e^{xyz}, a = [\frac{1}{2}, −\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}], P = (−1, 1, −1).

5. Sprawdź, że funkcja

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{3}y}{x^{6}+y^{2}} & dla (x, y) ≠ (0, 0), \\ 0 & dla (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

ma w punkcie P = (0, 0) pochodną w dowolnym kierunku, ale nie jest ciągła w P.

6. Wyznacz te wektory a ∈ ℝ^{2}, wzdłuż których istnieje pochodna kierunkowa funkcji f(x, y) = \sqrt{|x^{2} − y^{2}|} w punkcie (0, 0).

7. Niech f(x, y, z) = z − e^{x} siny. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P = (ln3, \frac{3π}{2} , −3) w kierunku takiego wektora o normie 1, w którym ma ona wartość:

(a) najmniejszą, (b) największą.

8. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y, z) = (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b})^{2} + (\frac{z}{c})^{2}, w punkcie (x_{0}, y_{0}, z_{0}), w kierunku wektora wodzącego tego punktu. Jak wyglądają zbiory punktów (x, y, z) ∈ ℝ^{3}, w których grad(f) jest: (a) liniowo zależny z wektorem v = [x, y, z], (b) prostopadły do v?

9. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej w zadanym punkcie P do powierzchni określonej równaniem z = f(x, y), jeżeli

(a) f(x, y) = ln(x^{2} + y^{2}), P = (1, 0, 0), (b) f(x, y) = sinx cosy, P = (\frac{π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{1}{2}).

10. Oblicz: \frac{∂^{4}f}{∂x∂y^{3}} dla f(x, y) = xe^{−y} ; \frac{∂^{4}g}{∂y^{2}∂x∂y} dla g(x, y) = sin(xy); \frac{∂^{5}h}{∂z^{2}∂x∂y^{2}} dla h(x, y, z) = ln(x^{2} + 2y − z).

11. Zbadaj, czy zachodzi równość \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) = \frac{∂^{2}f}{∂y∂x} (0, 0), gdy

(a) f(x, y) = \sqrt[3]{x^{6} − 8y^{3}} , (b) f(x, y) = \{ \begin{matrix}xy & dla |x| |y|, \\ 2xy & dla |x| > |y| . \end{matrix}

12. Udowodnij, że jeśli funkcja f : ℝ^{n} → ℝ ma ograniczone pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu P, to jest w tym punkcie ciągła.

13. Załóżmy, że funkcje f i g są określone w otoczeniu punktu a ∈ ℝ^{2} i różniczkowalne w tym punkcie, niech ponadto f(a) = g(a) = 0. Uzasadnij, że jeśli ∇f(a) i ∇g(a) są liniowo niezależne, to granica lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} nie istnieje.

14. Załóżmy, że f jest funkcją różniczkowalną na prostej. Sprawdź, że z = yf(x^{2} − y^{2}) spełnia równanie różniczkowe

y^{2} \frac{∂}{∂x}z + xy \frac{∂}{∂y}z = xz.

15. Operatorem Laplace’a w ℝ^{n}, n 2, nazywamy operator różniczkowy drugiego rzędu △ = ∑ _{i=1}^{n} \frac{∂^{2}}{∂x_{i}^{2}} . Niech u = ln∥x∥ gdy n = 2 i u = \frac{1}{∥x∥} gdy n = 3, x ≠ 0. Sprawdź, że u jest rozwiązaniem równania Laplace’a △u = 0. Jak uogólnić ten wynik na przypadek n > 3?

16. Mówimy, że rzeczywista funkcja wielu zmiennych określona na ℝ^{n} \ {0} jest jednorodna stopnia m jeśli f(tx) = t^{m}f(x) dla t > 0 i x ∈ ℝ^{n} \ {0}. Pokaż, że jednorodna funkcja klasy C^{1} spełnia tożsamość

∑_{i=1}^{n} x_{i} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x) = mf(x), x = (x_{1}, …, x_{n}).

I na odwrót, jeśli f klasy C^{1} spełnia taką tożsamość to jest jednorodna stopnia m.