ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)

Funkcje o wartościach wektorowych: różniczkowalność, jakobian

1. Narysuj pola wektorowe: (a) F (x, y) = (y cosx, y sinx); (b) F (x, y) = (x+y, x−y); (c) F (x, y, z) = (x, y, \sqrt{x^{2} + y^{2}} z).

2. Narysuj krzywe zadane parametrycznie: (a) γ(t) = (a cost, b sint), t ∈ ℝ; (b) γ(t) = (t − sint, 1 − cost), t ∈ ℝ (cykloida); (c) γ(t) = (cost + t sint, sint − t cost), t ∈ ℝ (ewolwenta okręgu).

3. Niech a > 0. Krzywa γ jest zadana parametrycznie:

γ(t) = (a cost + a ln| tg \frac{t}{2}|, a sint), t ∈ (0, π/2).

Znajdź odległość pomiędzy punktem przecięcia prostej stycznej do tej krzywej w punkcie γ(t_{0}) z osią y = 0 a punktem γ(t_{0}). Narysuj krzywą γ. Uwaga: krzywą γ nazywamy traktrysą.

4. Niech f(x, y) = (x cos(πy), xy) oraz g(x, y) = (x + 2y, 2x − y). Oblicz macierze Jacobiego: funkcji g w punkcie (1, 0), funkcji f w punkcie g(1, 0) oraz funkcji f ∘ g w punkcie (1, 0). Tę ostatnią oblicz na dwa sposoby: bezpośrednim rachunkiem oraz korzystając z reguły łańcucha.

5. Niech f : ℝ → ℝ^{2}; piszemy f(x) = (f^{1}(x), f^{2}(x). Udowodnij, że f jest różniczkowalna w a ∈ ℝ wtedy i tylko wtedy, gdy f^{1} i f^{2} są różniczkowalne w a i wówczas zachodzi

f′(a) = [ \begin{matrix}(f^{1})′(a) \\ (f^{2})′(a) \end{matrix}] .

6. Znajdź macierze Jacobiego następujących funkcji: (a) f(x, y, z) = x^{y}; (b) f(x, y) = sin(x siny); (c) f(x, y, z) = (sin(xy), sin(x siny), x^{y}) (d) f(x, y) = ∫_{0}^{x+y} g(t) dt, gdzie g : ℝ → ℝ jest ciągła; (e) f(x, y, z) = ∫_{x^{y}}^{z} g(t) dt, g jak poprzednio; (f) f(x, y) = (x, u(x − y, x + y)) (co trzeba założyć o funckji u?); (g) f(x_{1}, …, x_{n}) = (\frac{x_{1}^{2}}{2} , x_{1}x_{2}, x_{1}x_{3}, …, x_{1}x_{n}) w punkcie (1, 1, …, 1).

7. Funkcja f : ℝ^{n} × ℝ^{m} → ℝ^{p} jest dwuliniowa, jeżeli przy ustalonych x ∈ ℝ^{n} i y ∈ ℝ^{m} odwzorowania f(x, ·) i f(·, y) są liniowe. Udowodnij, że jeżeli f jest dwuliniowa, to

lim_{(h,k)→0} \frac{|f(h, k)|}{|(h, k)|} = 0.

Udowodnij, że D_{(a,b)}f(x, y) = f(a, y) + f(x, b) dla a, x ∈ ℝ^{n} i b, y ∈ ℝ^{m}.

8. Określmy IP : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ jako IP (x, y) = ⟨x, y⟩ (iloczyn skalarny x i y).

(a) Znajdź D_{(a,b)}(IP) i macierz Jacobiego IP.

(b) Pokaż, że jeśli f, g : ℝ → ℝ^{n} są różniczkowalne i h : ℝ → ℝ jest określona wzorem h(t) = ⟨f(t), g(t)⟩, to

h′(a) = ⟨f′(a)^{T}, g(a)⟩ + ⟨f(a), g′(a)^{T}⟩,

gdzie f′(a), g′(a) oznacza macierz Jacobiego odwzorowania f, odpowiednio g, w punkcie a.

9. Pokaż, że jeśli f : ℝ^{2} → ℝ jest różniczkowalna, to nie jest różnowartościowa.

10. Oblicz dywergencję i rotację pola z zadania 6(c).

11. Dla f : ℝ^{n} → ℝ klasy C^{2} oblicz divgradf.

12. Dla f : ℝ^{3} → ℝ i F, G : ℝ^{3} → ℝ^{3} będą odpowiedniej klasy. Sprawdź prawdziwość wzorów: (a) div(fF) = ⟨∇f, F ⟩+f divF; (b) div(F ×G) = ⟨G, rotF ⟩−⟨F, rotG⟩;

(c) rot(fF) = ∇f × F + f rotF; (d) rotgradf = 0.

13. Korzystając z pojęcia różniczki zupełnej znajdź wartość przybliżoną: (a) 1, 01·1, 02; (b) 0, 99^{1,02}; (c) \frac{cos x}{cos y} w pobliżu punktu (0, 0).

14. Dany jest związek x^{4} + y^{4} − x^{2} − y^{2} = 0. Czy w otoczeniu punktu (1, 1) związek ten przedstawia funkcję y = y(x)? Jeśli tak, to wyznacz y′(1) i y′′(1).

15. Znajdź pochodną funkcji y = y(x) zadanej równaniem

(a) x^{3}y − xy^{3} = a^{4}, a = const;

(b) xe^{y} + ye^{x} − e^{xy} = 0.

16. Znajdź równanie stycznej w punkcie (1, 1) do krzywej danej równaniem uwikłanym ye^{x} − xe^{y} + y − x^{2} = 0.

17. Pokaż, że równanie z^{3} − 3xyz − a^{3} = 0, gdzie a > 0, określa funkcję uwikłaną z = z(x, y) w otoczeniu każdego punktu (x_{0}, y_{0}, z_{0}), z_{0} > 0, spełniającego powyższe rówanie. Znajdź płaszczyznę styczną do wykresu tej funkcji w punkcie (0, 0, a).

18. Oblicz D_{1}z, D_{2}z i D_{1}D_{2}z dla funkcji uwikłanej z = z(x, y) określonej zależnością z = arctg \frac{y}{z−x} .

19. Dany jest układ równań y − z + u^{2} = −y + 2z + u = 0. W otoczeniu jakich punktów z można y i u wyrazić przez z? Analogiczne pytanie dla y lub u zamienionego z z.

20. W otoczeniu jakich punktów odwzorowanie f : ℝ^{2} → ℝ^{2} zadane wzorem f(x, y) = (x^{2} − y^{2}, 2xy) jest odwracalne? Znajdź macierz Jacobiego f i f^{−1} . To samo dla funkcji f z zadania 6(c)(f)(g).

21. Pokaż, że równanie (x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2}(x^{2} − y^{2}), a ≠ 0, w otoczeniu punktu (0, 0) definiuje dwie różne funkcje różniczkowalne. Znajdź pochodne tych funkcji w zerze.

22. Niech x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y) będą funkcjami zadanymi równaniem F (x, y, z) = 0. Pokaż, że

\frac{∂x}{∂y} · \frac{∂y}{∂z} · \frac{∂z}{∂x} = −1.

23. Uzasadnij, że gradient funkcji różniczkowalnej jest prostopadły do poziomicy tej funkcji.