ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)

Ekstrema funkcji wielu zmiennych

1. Napisz wzór Taylora funkcji f(x, y) = ln \frac{x}{y} w otoczeniu punktu (1, 1) z resztą R_{1}. Następnie wykaż nierówność

ln \frac{x}{y} − x + y \frac{(y − 1)^{2}}{2} dla (x − 1)^{2} + (y − 1)^{2} < 1 i y 1.

2. Napisz wzór Taylora funkcji f(x, y) = e^{\sqrt{x}y} w otoczeniu punktu (1, 0) z resztą R_{2}.

3. Oceń błąd bezwzględny wzorów przybliżonych (a) \frac{cos x}{cos y} ≈ 1 − \frac{1}{2}(x^{2} − y^{2}) dla |x|, |y| \frac{π}{3}, (b) cosx cosy cosz − cos(x + y + z) ≈ (xy + yz + zx) dla |x|, |y|, |z| \frac{1}{10}.

4. Wyznacz lokalne minima i maksima funkcji: (a) f(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}^{2}−3x_{1}^{2}−3x_{2}^{2}+4, (b) f(x, y) = x^{4}+y^{4}−x^{2}−2xy−y^{2}, (c) f(x, y) = (x^{2}+y^{2})e^{−(x^{2}+y^{2})} , (d) f(x, y) = sin(x+y)−sinx−siny, (e) f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+⋯ +x_{n}^{3}−3(x_{1}+x_{2}+⋯ +x_{n}),

(f) f(x, y) = (1 + e^{y}) cosx − ye^{y}, (g) f(x, y) = x^{3} − 4x^{2} + 2xy − y^{2} określonej na prostokącie [−5, 5] × [−1, 1]. Czy funkcje te osiągają największe (najmniejsze) wartości w swoich dziedzinach?

5. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji: (a) f(x, y) = x + y na kole x^{2} + y^{2} 1, (b) g(x, y) = xy\sqrt{1 − x^{2} − y^{2}} w dziedzinie określoności, (c) h(x, y) = sinx + cosy + cos(x − y) na kwadracie 0 x, y \frac{π}{2}, (d) k(x, y, z) = x + y + z na zbiorze x^{2} + y^{2} z 1.

6. Niech a, b będą dwiema liczbami dodatnimi. Wyznacz liczby x_{1}, …, x_{n} leżącę między a i b tak aby zmaksymalizować wielkość

u = \frac{x_{1}x_{2} …x_{n}}{(a + x_{1})(x_{1} + x_{2}) …(x_{n} + b)} .

7. Wykaż, że dla każdych (x, y) ∈ ℝ^{2} zachodzi nierówność xe^{x(y^{2}+1)+1} −1.

8. Znajdź ekstrema lokalne funkcji uwikłanych jednej zmiennej postaci x ↦ y(x) lub y ↦ x(y) zadanych warunkami: (a) y^{3} + 2xy + x^{2} = 0; (b) x^{2} + y^{2} = x^{4} + y^{4}.

9. Wyznacz ekstrema funkcji przy zadanych warunkach

(a) f(x, y) = cos^{2} x + cos^{2} y pod warunkiem, że x − y = π/4;

(b) f(x, y) = x + y pod warunkiem, że \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{a^{2}} ;

(c) f(x_{1}, …, x_{n}) = x_{1}^{p} + x_{2}^{p} + ⋯+ x_{n}^{p} pod warunkiem, że x_{1} + x_{2} + ⋯+ x_{n} = a, (a > 0, p > 1, x_{i} 0).

10. Jaką maksymalną objętość może mieć prostopadłościan wpisany w elipsoidę \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1?

11. Na elipsoidzie x^{2}+y^{2}+4z^{2} = 1 znajdź punkt najbardziej odległy od punktu (0, 0, 3).

12. Uzasadnij, że jeśli x_{1}, x_{2}, …, x_{n} 0 oraz x_{1} + x_{2} + ⋯+ x_{n} = na, gdzie a > 0 jest

ustalone, to

∑_{1 i<j n} x_{i}x_{j} \binom{n}{2} a^{2}.