ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)

Całka podwójna i potrójna

1. Funkcja dwóch zmiennych f : D → ℝ, gdzie D jest prostokątem [a, b] × [c, d], jest rosnąca względem każdej ze zmiennych przy ustalonej drugiej. Udowodnij, że f jest funkcją całkowalną na D.

2. Funkcje f : [a, b] → ℝ i g : [c, d] → ℝ są całkowalne w sensie Riemanna. Wykaż, że funkcja F (x, y) = f(x)g(y), (x, y) ∈ [a, b]×[c, d] jest całkowalna na D = [a, b]×[c, d] oraz zachodzi wzór

∫∫_{[a,b]×[c,d]}F (x, y) dx dy = ∫_{a}^{b}f(x) dx · ∫_{c}^{d} g(y) dy.

3. f jest funkcją jednej zmiennej całkowalną na przedziale [a, b]. Rozpatrując całkę ∫∫_{D}(f(x) − f(y))^{2} dx dy na prostokącie D = [a, b] × [a, b], wykaż nierówność

( ∫_{a}^{b}f(x) dx) ^{2} (b − a) ∫_{a}^{b}f^{2}(x) dx.

Pokaż także, że jeśli f jest ciągła, to równość zachodzi jedynie w przypadku f = const.

4. Zastosuj twierdzenie Fubiniego i udowodnij, że jeśli pochodne mieszane \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} i \frac{∂^{2}f}{∂y∂x} są ciągłe na zbiorze otwartym ⊂ ℝ^{2}, to są na tym zbiorze równe.

5. D jest obszarem normalnym płaskim i f funkcją ciągłą na D. Udowodnij, że istnieje punkt p ∈ D taki, że ∫∫_{D} f(x, y) dx dy = f(p) · |D|, gdzie D jest polem obszaru D.

6. Zamień kolejność całkowania w całkach iterowanych

∫_{1}^{e} dy ∫_{ln \frac{1}{y}}^{ln y} f(x, y) dx; ∫_{−1}^{1} dy ∫_{1}^{y^{3}} f(x, y) dx + ∫_{1}^{√ \overline{2}} dy ∫_{−\sqrt{2−y^{2}}}^{2−y^{2}} f(x, y) dx.

7. Każdą z całek zamień na dwie inne całki iterowane

∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{1−x} dy ∫_{0}^{x+y} f(x, y, z) dz; ∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{x^{2}+y^{2}} f(x, y, z) dz.

8. Krzywa x = 2|y| rozcina koło (x − 1)^{2} + y^{2} 1 na trzy części. Korzystając z całek podwójnych, oblicz pole każdej z nich.

9. Niech f : [0, ∞) → ℝ będzie funkcją ciągłą. Dla każdego t 0 określamy zbiór K(t) i funkcję F : [0, ∞) → ℝ przyjmując K(t) = {(x, y, z) : x^{2}+y^{2}+z^{2} t^{2}, x 0, y 0, z 0}, F (t) = ∫∫∫_{K(t)} f(x^{2} + y^{2} + z^{2}) dx dy dz. Uzasadnij, że F′(t) = πt^{2}f(t^{2})/2.

10. Wyznacz masę i środek ciężkości obszaru (a) ograniczonego osią Ox i wykresem funkcji kosinus na przedziale [−π/2, π/2], jeśli gęstość masy jest równa ρ(x, y) = y;

(b) wyciętego z koła x^{2} + y^{2} 1 parabolą 3x − 2y^{2} = 0, jeśli ρ(x, y) = 1.

11. Poprzez zamianę na całki iterowane oblicz

∫∫_{D} y(x + y) dx dy; ∫∫_{D} x^{p−1} y^{q−1} dx dy (= \frac{Γ(p)Γ(q)}{Γ(p + q + 1)} ),

gdzie D jest obszarem ograniczonym prostymi x = 0, y = 0 i x + y = 1, a p, q 1.

12. Dla funkcji f, g : ℝ → ℝ ciągłych i 2π-okresowych określamy funkcję f ∗ g : ℝ → ℝ

(nazywaną splotem funkcji f i g) wzorem

(f ∗ g)(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x − y)g(y) dy, x ∈ ℝ.

Pokaż, że f ∗ g również jest ciągła i 2π-okresowa. Wyraź współczynniki Fouriera funkcji f ∗ g poprzez współczynniki Fouriera funkcji f i g.

13. Oblicz pola obszarów: D_{1} = {(x, y) : (x^{2} + y^{2})^{2} 2(x^{2} − y^{2})}; D_{2} = {(x, y) : px y^{2} qx, ay x^{2} by}, gdzie 0 < p < q oraz 0 < a < b, stosując zamianę zmiennych w całce. (Wsk. do D_{2}: podstaw s = y^{2}/x, t = x^{2}/y).

14. Oblicz całki z zadania 11 podstawiając x = s(1 − t), y = st.

15. * Sprawdź, że ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} \frac{1}{1−xy} dx dy = \frac{π^{2}}{6} podstawiając u = (y + x)/\sqrt{2}, v = (y − x)/\sqrt{2}. Jak można stąd otrzymać równość ∑ _{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} ?

16. Oblicz całkę

∫∫∫_{D} \frac{dx dy dz}{(1 + x + y + z)^{3}} ,

gdzie D jest czworościanem ograniczonym płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.

17. Oblicz objętość bryły, którą z kuli x^{2} + y^{2} + z^{2} a^{2}, a > 0 wycina (a) walec x^{2} + y^{2} b^{2}, 0 < b < a; (b) stożek x^{2} + y^{2} = z^{2}; (c) walec x^{2} + y^{2} = ax.

18. Oblicz objętość (i) bryły ograniczonej powierzchnią (x/a)^{2/3}+(y/b)^{2/3}+(z/c)^{2/3} = 1, a, b, c > 0; (ii) bryły {(x, y, z) : 1 x^{2} + y^{2} + z^{2} 16, z^{2} x^{2} + y^{2}}.

19. Wyznacz współrzędne środka ciężkości bryły jednorodnej ograniczonej elipsoidą (x/a)^{2} + (y/b)^{2} + (z/c)^{2} = 1 i płaszczyzną z = 0.

20. Oblicz objętość n-wymiarowej piramidy x_{1} + ⋯+ x_{n} 1, x_{i} 0 dla i = 1, …, n.

21. Znajdź wzór (np. rekurencyjny) na n-wymiarową objętość kuli x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+⋯ +x_{n}^{2} 1. Dla jakiego n objętość ta jest największa?

22. Wyznacz całki wielokrotne niewłaściwe

∫∫_{D_{1}} e^{−(x+y)} dx dy; ∫∫∫_{D_{2}} \frac{dx dy dz}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{α}} ; ∫∫_{D_{3}} f(x, y) dx dy,

gdzie α ∈ ℝ, D_{1} = {(x, y) : 0 x y}, D_{2} = {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} 1}, D_{3} = [0, ∞) × [0, ∞), f(x, y) = xye^{−(x^{2}+y^{2})} lub f(x, y) = sin(x^{2} + y^{2}).

23. Ustal, jaki jest związek pomiędzy poniższymi całkami i oblicz ich wartości ∫∫∫_{ℝ^{3}} e^{−(x^{2}+y^{2}+z^{2})} dx dy dz; ∫_{0}^{∞} x^{2}e^{−x^{2}} dx.