ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)

Całki krzywoliniowe

1. Sparametryzuj łukowo krzywe: (a) C(t) = (t, \frac{4}{3}t^{3/2}, t^{2}); (b) C(t) = (a^{t} sint, a^{t} cost), a = const. > 0; (c) krzywą płaską określoną równaniem y = \frac{2}{3}(x − 1)^{3/2}, x 1.

2. Oblicz pracę jaką wykona siła (a) F (x, y) = (−\frac{y^{2}}{x^{5/3} +y^{5/3}} , \frac{x^{2}}{x^{5/3} +y^{5/3}} ) wzdłuż łuku asteroidy x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} od punktu (a, 0) do punktu (0, a), a = const. > 0; (b) F (x, y, z) = (yz, z\sqrt{R^{2} − y^{2}} , xy) wzdłuż spirali C : x = R cost, y = R sint, z = \frac{at}{2π} zawartej pomiędzy płaszczyznami z = 0 i z = 3a, gdzie R, a = const. > 0.

3. Oblicz całkę ∮_{C} \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx + y(xy + ln(x + \sqrt{x^{2} + y^{2}} )) dy, gdzie C jest dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru D ograniczonego przez krzywe y = lnx, y = 0, x = e. Wskazówka: skorzystaj z twierdzenia Greena.

4. Za pomocą całki krzywoliniowej zorientowanej oblicz pole obszaru ograniczonego przez (a) kardioidę C : r = a(1 − cost), gdzie (r, t) są współrzędnymi biegunowymi na płaszczyźnie, a = const. > 0; (b) hipocykloidę C : x = a(2 cost + cos2t), y = a(2 sint + sin2t), a = const. > 0.

5. Niech Ω będzie otwartym, niepustym podzbiorem ℂ; γ : [a, b] → Ω – krzywą (kawałkami) klasy C^{1}; f : Ω → ℂ. Zapisz całkę krzywoliniową ∫_{γ} f(z) dz znaną z wykładu z funkcji analitycznych poprzez odpowiednie całki krzywoliniowe zorientowane (napisz f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), podobnie dla γ, …). Następnie korzystając z twierdzenia Greena i równań Cauchy–Riemanna udowodnij następujące twierdzenie Cauchy’ego: jeśli f jest funkcją holomorficzną na obszarze jednospójnym Ω, γ – krzywą zamkniętą (kawałkami) klasy C^{1} zawartą w Ω, to ∫_{γ} f(z) dz = 0.

6. Załóżmy, że C jest krzywą Jordana, dla której istnieje parametryzacja C(t) = (x(t), y(t)) kawałkami klasy C^{1}, taka że y(t) = tx(t), α t β. Wykaż, że pole obszaru D ograniczonego przez krzywą C wyraża się wzorem |D| = \frac{1}{2} ∫_{α}^{β}(x(t))^{2} dt. Skorzystaj z tego faktu i oblicz pola obszarów ograniczonych przez krzywe (a) (x + y)^{3} = xy; (b) x^{4} + y^{4} = x^{2}y.

7. Sprawdź, czy wyrażenie (a) ω = (3x^{2}y^{4} − 6xy − 4)dx + (4x^{3}y^{3} − 3x^{2} + 5)dy; (b) ω = (ln|xy|+1−sin(x−y))dx+ ( | \frac{x}{y} | + sin(x − y)) dy jest różniczką zupełną funkcji dwóch zmiennych U na jakimś obszarze D. Jeśli tak, to znajdź funkcję U na D.

8. Sprawdź, czy pole wektorowe

(a) F = \frac{1}{3x^{2} − 2xy + 3y^{2}} (y, −x); (b) F = ( 1 − \frac{y^{2}}{x^{2}} cos \frac{y}{x}, sin \frac{y}{x} + \frac{y}{x} cos \frac{y}{x})

jest polem potencjalnym w jakimś obszarze D. Jeśli tak, to wyznacz jego potencjał na tym zbiorze.

9. Znajdź funkcje różniczkowalne φ jednej zmiennej, dla których całka krzywoliniowa zorientowana ∫_{C}(2xyφ(y) + y) dx + (x − 2x^{2}φ(y)) dy nie zależy od drogi całkowania. W jakich obszarach to jest możliwe?

10. Niech f : [0, ∞) → ℝ będzie funkcją ciągłą. Wykaż, że ∮_{C} f(x^{2}+y^{2})(x dx+y dy) = 0 dla dowolnej krzywej Jordana C ⊂ ℝ^{2} kawałkami klasy C^{1}.

11. Oblicz całkę ∮_{C} \frac{x dy−y dx}{x^{2}+4y^{2}} , gdzie C jest elipsą (a) \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1; (b) \frac{x^{2}}{4} + (y − 2)^{2} = 1.

12. Oblicz masę: (a) okręgu L : x^{2}+y^{2}+2y = 0, jeśli gęstość masy w dowolnym punkcie (x, y) ∈ L jest równa promieniowi wodzącemu tego punktu; (b) stożkowej linii śrubowej C : x = t cost, y = t sint, z = t, 0 t 2π, jeśli ρ(x, y, z) = 2z−\sqrt{x^{2} + y^{2}} .

13. Ω jest jednospójnym obszarem płaskim, C – dodatnio zorientowaną krzywą Jordana kawałkami klasy C^{1}, C ⊂ Ω, D jest obszarem ograniczonym przez C i F = (P, Q) jest polem wektorowym klasy C^{1} na obszarze Ω. Niech T (s) oznacza wektor jednostkowy styczny do C w punkcie C(s) (tam gdzie istnieje), a N(s) normalną zewnętrzną, tzn. wektor jednostkowy prostopadły do T (s) i skierowany na zewnątrz obszaru D. Wówczas T (s) = (x′(s), y′(s)) = (cosα(s), sinα(s)), N(s) = (y′(s), −x′(s)) = (sinα(s), − cosα(s)), gdzie (x(s), y(s)) jest parametryzacją łukową krzywej C, a α(s) = ∠(T (s), Ox) jest kątem zorientowanym zawartym pomiędzy styczną T (s) a osią Ox. Uzasadnij związek pomiędzy całką krzywoliniową zorientowaną i niezorientowaną ∫_{C} P dx + Q dy = ∫_{C}(P cosα + Q sinα) ds. Zamień całki niezorientowane ∫_{C}⟨F, T ⟩ ds, ∫_{C}⟨F, N⟩ ds na całki zorientowane.

14. Niech Ω, C, D, N i T będą takie, jak w zadaniu 13. Ponadto zakładamy, że pole wektorowe F = (P, Q) i funkcje f, g są klasy C^{2} na obszarze Ω. Uzasadnij, że

∮_{C}⟨F, N⟩ ds = ∫∫_{D} divF dx dy, ∮_{C} D_{T}f ds = 0, ∮_{C} D_{N}f ds = ∫∫_{D} Δf dx dy;

∫∫_{D}(⟨∇f, ∇g⟩ + gΔf) dx dy = ∮_{C} gD_{N}f ds;
∫∫_{D}(gΔf − fΔg) dx dy = ∮_{C}(gD_{N}f − fD_{N}g) ds.

Ostatnie dwa wzory nazywane są wzorami Greena.

15. Funkcję f nazywamy harmoniczną na obszarze Ω, jeśli spełnia na nim równanie Laplace’a Δf = 0. Podaj przykłady funkcji harmonicznych (wsk.: sprawdź, że jeśli h jest holomorficzna, to f(x, y) = Reh(x+iy) jest harmoniczna). Wykaż, że równanie Δf = 0 ma charakter niezmienniczy względem konforemnej zmiany współrzędnych, tzn. takiej zmiany współrzędnych x = φ(u, v), y = ψ(u, v), dla której funkcje φ, ψ są klasy C^{2} i spełniają warunki \frac{∂φ}{∂u} = \frac{∂ψ}{∂v}, \frac{∂φ}{∂v} = −\frac{∂ψ}{∂u}, (\frac{∂φ}{∂u})^{2} + (\frac{∂φ}{∂v})^{2} > 0.

16. Ω jest jednospójnym obszarem płaskim, f : Ω → ℝ – funkcją klasy C^{2}. Wykaż, że f jest harmoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy ∮_{C} D_{N}f ds = 0 dla dowolnej krzywej Jordana C ⊂ Ω kawałkami klasy C^{1}.

17. f jest funkcją harmoniczną na obszarze jednospójnym Ω i (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω. Udowodnij, że jeśli O_{R} jest dowolnym okręgiem o środku w punkcie (x_{0}, y_{0}) i promieniu R zawartym w obszarze Ω, to f(x_{0}, y_{0}) = \frac{1}{2πR} ∮_{O_{R}} f(x, y) ds. Wskazówka: skorzystaj m.in. z zadania 14 dla g(x, y) = ln \sqrt{(x − x_{0})^{2} + (y − y_{0})^{2}} .

18. Sformułuj zasadę maksimum dla funkcji harmonicznych (przez analogię do znanej zasady maksimum dla funkcji holomorficznych), a następnie ją udowodnij.