ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)

Całki powierzchniowe

1. Wiadomo, że sfera S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 nie jest prostym płatem powierzchniowym. Wykaż, że górna półsfera S^{+} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x 0 jest płatem powierzchnowym, podobnie dolna półsfera. Wsk. Można użyć parametryzacji wykorzystującej tzw. rzut stereograficzny (z bieguna południowego sfery prowadzi się proste przecinające płaszczyznę Oxy…).

2. Określ typ powierzchni S (prosty płat powierzchniowy, płat powierzchniowy), jeśli jest ona obrazem podanego odwzorowania:

(a) r(φ, ψ) = (a cosφ cosψ, b sinφ cosψ, c sinψ), (φ, ψ) ∈ [0, 2π] × [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}], a, b, c = const. > 0 (elipsoida);

(b) r(φ, z) = (f(z) cosφ, f(z) sinφ, z), (φ, z) ∈ [0, 2π] × [a, b], f jest funkcją dodatnią i klasy C^{1} na przedziale [a, b] (powierzchnia obrotowa);

(c) r(u, v) = ((a + b cosv) cosu, (a + b cosv) sinu, b sinv), (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 2π], a, b = const., 0 < b < a (torus).

3. Znajdź pole wektorów jednostkowych wzdłuż (a) powierzchni S : −2x^{2}−y^{2}+z^{2} = 1, x 0; (b) powierzchni z zadania 2(b) i 2(c).

4. Wyznacz płaszczyznę styczną i prostą normalną do (a) powierzchni S : y = z^{2} − x^{2} w punktach, w których płaszczyzna ta jest równoległa do płaszczyzny y + z = 0;

(b) powierzchni obrotowej z zadania 2(b) dla f(z) = e^{z−1} , w punktach, w których płaszczyzna ta jest prostopadła do prostej określonej warunkami y = 0, x + z = 0.

5. Wyznacz element powierzchni i oblicz pole (a) powierzchni S : x^{2} + y^{2} + z − 2 = 0, z 1; (b) powierzchni z zadania 2(b) i 2(c).

6. Załóżmy, że C jest krzywą płaską, C(t) = (x(t), y(t)) (α t β) jej parametryzacją kawałkami gładką i f jest dodatnią funkcją klasy C^{1} na pewnym otoczeniu zawierającym krzywą C. Tworzymy powierzchnię

S : r(t, u) = (x(t), y(t), uf(x(t), y(t))), α t β, 0 u 1.

Wykaż, że powierzchnia S ma pole równe całce krzywoliniowej niezorientowanej ∫_{C} f(x, y) ds.

7. Oblicz współrzędne środka ciężkości powierzchni całkowitej walca S : x^{2} + y^{2} = r^{2}, 0 z h, r, h = const. > 0, jeśli gęstość powierzchniowa masy jest postaci ρ(x, y, z) = z. Wykonaj to samo dla części stożka x^{2} + y^{2} = R^{2}z^{2}/H^{2} odciętej płaszczyzną z = H, gdzie R, H = const. > 0, ρ = 1.

8. Wyznacz moment bezwładności względem osi Oz masy jednorodnej o gęstości ρ = 1 rozłożonej na powierzchni S : (z − 1)^{2} = x^{2} + y^{2}, 1 z 3. Wykonaj to samo dla fragmentu sfery x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} wyciętego płaszczyzną z = H, gdzie R, H = const. > 0.

9. Oblicz całkę ∫∫_{S} x dy dz + y dz dx + z dx dy, gdzie S : z = xy, 0 x, y 1, górna strona powierzchni S jest dodatnia.

10. C(t) = (cost, sint, sint), 0 t 2π, jest parametryzacją krzywej C. Wyznacz całkę ∫_{C} z dx + 2x dy + y^{2} dz (a) bezpośrednim rachunkiem; (b) korzystając z twierdzenia Stokesa.

11. Niech a będzie polem wektorowym klasy C^{1} na pewnym obszarze Ω ⊂ ℝ^{3}. Potencjałem wektorowym pola a nazywamy każde pole wektorowe b takie, że rotb = a. Mówimy wówczas, że pole a ma potencjał wektorowy. Udowodnij, że: (1) jeśli pole a ma potencjał wektorowy, to diva = 0; (2) na odwrót, jeśli diva = 0, to dowolny punkt (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ∈ Ω posiada otoczenie, na którym pole a ma potencjał wektorowy, przy czym jest on zadany wzorem

b = ( 0, ∫_{x_{0}}^{x} a_{3}(x, y, z) dx, − ∫_{x_{0}}^{x} a_{2}(x, y, z) dx + ∫_{y_{0}}^{y} a_{1}(x_{0}, y, z) dy) + ∇f,

gdzie a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) i f jest dowolną funkcją skalarną klasy C^{2}.

12. Sprawdź, czy pole (a) a = (xz, −yz, y); (b) a = (2|x|, |y|, |z|) posiada potencjał wektorowy i ewentualnie znajdź ten potencjał. Na jakich obszarach jest to możliwe?

13. Niech D będzie obszarem spełniającym założenia twierdzenia Gaussa–Ostrogradzkiego, S jego brzegiem zorientowanym zewnętrznie i f, g funkcjami klasy C^{2} na D. Udowodnij wzory całkowe

(a) ∫∫∫_{D}(⟨∇f, ∇g⟩ + gΔf) dx dy dz = ∫∫_{S} gD_{n}f dS;
(b) ∫∫∫_{D}(gΔf − fΔg) dx dy dz = ∫∫_{S}(gD_{n}f − fD_{n}g) dS;
(c) ∫∫∫_{D} Δf dx dy dz = ∫∫_{S} D_{n}f dS.

14. Sformułuj i udowodnij odpowiedniki w R^{3} stwierdzeń zawartych w zadaniach 16,17 i 18 z poprzedniej listy zadań.

\underline{Ponadto}: Zadania ze skryptu ogólnouczelnianego dotyczące całek powierzchniowych oraz twierdzeń Gaussa–Ostrogradzkiego i Stokesa.