ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium 1 jeszcze raz 8 grudnia 2003 Grupa ćwiczeniowa Bartka Dydy.

1. Sprawdź z definicji, że ciąg a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} spełnia warunek Cauchy’ego.

2. Ciąg (a_{n}) jest zdefiniowany rekurencyjnie: a_{1} = \frac{π}{2}; a_{n+1} = sin(a_{n}) dla n = 1, 2, 3, . . .. Rozstrzygnij, czy ciąg (a_{n}) jest zbieżny i znajdź zbiór punktów skupienia tego ciągu.

3. (a) Znajdź granicę ciągu a_{n} = \sqrt{n^{2} + 2n} − \sqrt{n^{2} − n} .

(b) Oblicz

lim_{n→∞} \sqrt[n]{\binom{2n + 1}{0} + \binom{2n + 1}{2} + ⋯+ \binom{2n + 1}{2n} + n} .

4. (a) Oblicz granicę lim_{x→1} \frac{lnx}{sin(πx)} nie korzystając z reguły de l’Hospitala.

(b) Niech f(x) = sinx + (x^{2} − 1)^{x}x^{−2x} cosx dla x > 1. Uzasadnij, że lim inf_{x→∞}f(x) = −\sqrt{2} .

5. Funkcje f_{n} : ℝ → [0, ∞) są ciągłe, n ∈ ℕ. Definiujemy funkcję f : ℝ → [0, ∞) wzorem

f(x) = inf_{n∈ℕ} f_{n}(x) .

(a) Pokaż na przykładzie, że f nie musi być ciągła.

(b) Udowodnij, że ∀_{x_{0}∈ℝ} ∀_{ε>0} ∃_{δ>0} ∀_{x∈ℝ} (|x − x_{0}| < δ ⟹ f(x) < f(x_{0}) + ε) .

Punktacja: za zadania 1, 2, 3, 4, 5 można otrzymać odpowiednio 10, 15, 25, 30, 20 punktów.