ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium 1 25 listopada 2003 Grupa ♣

1. (a) Sprawdź z definicji Cauchy’ego, że funkcja f(x) = x^{3} jest ciągła w punkcie x_{0} = 2. (b) Sprawdź z definicji, że ciąg (−1)^{n} nie spełnia warunku Cauchy’ego.

2. (a) Oblicz

lim_{n→∞} ( ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{5n^{2} − 3k}} ) .

(b) Niech a_{k} = \frac{k^{2}−k}{k^{2}−k−2} dla k = 3, 4, . . .. Oblicz lim_{n→∞} (a_{3}a_{4}a_{5} …a_{n}).

(c) Oblicz lim inf_{x→∞}f(x) i lim sup_{x→∞}f(x) dla f(x) = 4x − 2[2x] + \frac{1}{x^{2}} .

3. Rozstrzygnij, czy granica lim_{x→∞} ( \frac{x + 1}{x + 4} ) ^{x+sin \frac{πx}{2}} istnieje. Odpowiedź uzasadnij.

4. O funkcji f : ℝ → ℝ zakładamy, że lim_{x→∞}(f(x) − x^{2}) istnieje i jest skończona. Udowodnij, że

lim sup_{x→∞} \frac{f(x + 1) − f(x)}{x} = 2.

Punktacja: za zadania 1, 2, 3, 4 można otrzymać odpowiednio 20, 40, 15, 20 punktów, a za sposób redagowania (komentarze, układ graficzny, czytelność pisma) 5 punktów.

ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium 1 25 listopada 2003 Grupa ♢

1. (a) Sprawdź z definicji Cauchy’ego, że funkcja f(x) = x^{3} jest ciągła w punkcie x_{0} = 3. (b) Sprawdź z definicji, że ciąg (−1)^{n} nie spełnia warunku Cauchy’ego.

2. (a) Oblicz

lim_{n→∞} ( ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{3n^{2} − 2k}} ) .

(b) Niech a_{k} = \frac{k^{2}−k}{k^{2}−k−2} dla k = 3, 4, . . .. Oblicz lim_{n→∞} (a_{3}a_{4}a_{5} …a_{n}).

(c) Oblicz lim inf_{x→∞}f(x) i lim sup_{x→∞}f(x) dla f(x) = 4x − 2[2x] − \frac{1}{x^{2}} .

3. Rozstrzygnij, czy granica lim_{x→∞} ( \frac{x + 1}{x + 3} ) ^{x+cos \frac{πx}{2}} istnieje. Odpowiedź uzasadnij.

4. O funkcji f : ℝ → ℝ zakładamy, że lim_{x→∞}(f(x) − x^{2}) istnieje i jest skończona. Udowodnij, że

lim sup_{x→∞} \frac{f(x + 1) − f(x)}{x} = 2.

Punktacja: za zadania 1, 2, 3, 4 można otrzymać odpowiednio 20, 40, 15, 20 punktów, a za sposób redagowania (komentarze, układ graficzny, czytelność pisma) 5 punktów.