ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium poprawkowe 30 stycznia 2004

1. Oblicz granicę ciągu a_{n} = n(ln(n + 1) − ln(n − 1)). [20 p.]

2. Oblicz lim inf_{x→∞}f(x) i lim sup_{x→∞}f(x), jeśli f(x) = (2 + \frac{1}{x}) sinx dla x > 0. [25 p.]

3. Sformułuj twierdzenie Weierstrassa. Podaj przykład funkcji nieciągłej f: ℝ → ℝ, która osiąga swoje kresy na każdym niepustym podzbiorze ℝ. Krótko uzasadnij, że podany przykład jest dobry. [20 p.]

4. Sformułuj twierdzenie Darboux. Rozstrzygnij, czy równanie cosx = x^{2} − 4x + 2 ma rozwiązanie rzeczywiste. [15 p.]

5. Funkcja f: ℝ → ℝ jest ciągła w punkcie a. Sprawdź, że funkcja g(x) = (x − a)f(x) jest różniczkowalna w punkcie x = a. [15 p.]

6. Korzystając z reguły de l’Hôspitala oblicz [25 p.]

lim_{x→0} \frac{(e^{x^{2}} − cosx) ctgx}{1 + x^{2}} .

7. Napisz wielomian Maclaurina W_{2}(x) stopnia drugiego dla funkcji f(x) = \sqrt{1 + 2x} . Oszacuj (możliwie dobrze) dokładność wzoru przybliżonego \sqrt{1, 02} ≈ W_{2}(0, 01). [30 p.]

8. Oblicz całkę [30 p.]

∫ \frac{lnx + 2}{3x ln^{2} x + 7x} dx.

ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)

Drugie kolokwium jeszcze raz 30 stycznia 2004

1. Funkcja f: ℝ → ℝ jest ciągła i okresowa. Udowodnij, że f jest jednostajnie ciągła. [19 p.]

2. Uzasadnij tożsamość [15 p.]

2 arctgx + arcsin \frac{2x}{1 + x^{2}} = π sgnx dla |x| 1.

3. Korzystając z reguły de l’Hôspitala oblicz [15 p.]

lim_{x→0} \frac{(e^{x^{2}} − cosx) ctgx}{1 + x^{2}} .

4. Napisz wielomian Maclaurina W_{2}(x) stopnia drugiego dla funkcji f(x) = \sqrt{1 + 2x} . Oszacuj (możliwie dobrze) dokładność wzoru przybliżonego \sqrt{0, 98} ≈ W_{2}(−0, 01). [19 p.]

5. Oblicz całki [32 p.]

(a) ∫ \frac{lnx + 3}{2x ln^{2} x + 4x lnx + 5x} dx; (a) ∫_{0}^{π/4} \frac{dx}{sin(2x) + cos^{2} x} .