\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
\usepackage{amsfonts, amsopn,amsmath}
\pagestyle{empty}

\topmargin    -28mm
\textheight    267.0mm
\textwidth     175mm
\oddsidemargin -10mm
\arraycolsep   2.0pt

%\addtolength{\textwidth}{+20mm}
%\addtolength{\hoffset}{-10mm}
%\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
%\addtolength{\voffset}{-25mm}
%\addtolength{\textheight}{+40mm}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}

%\newcommand{\lin}{{\textrm{lin}}}
%\newcommand{\lins}{{\textrm{lin}\,}}

\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
%\DeclareMathOperator{\conv}{conv}


\begin{document}
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium poprawkowe}

30 stycznia 2004
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
Oblicz granic\k{e} ci\k{a}gu $a_n=n(\ln(n+1)-\ln(n-1))$.
\hfill [20 p.]

\item
Oblicz ${\displaystyle \liminf_{x\to\infty} f(x)}$ i
${\displaystyle \limsup_{x\to\infty} f(x)}$, je\'sli
$f(x)=(2+\frac{1}{x})\sin x$ dla $x>0$.
\hfill [25 p.]

\item
Sformu{\l}uj twierdzenie Weierstrassa.
Podaj przyk{\l}ad funkcji nieci\k{a}g{\l}ej $f\colon\R\to\R$,
kt\'ora osi\k{a}ga swoje kresy na ka\.zdym niepustym
podzbiorze $\R$. Kr\'otko uzasadnij, \.ze podany przyk{\l}ad
jest dobry. 
\hfill [20 p.]

\item
Sformu{\l}uj twierdzenie Darboux.
Rozstrzygnij, czy r\'ownanie $\cos x=x^2-4x+2$ ma rozwi\k{a}zanie
rzeczywiste.
\hfill [15~p.]

\item
Funkcja $f\colon\R\to\R$ jest ci\k{a}g{\l}a w punkcie $a$.
Sprawd\'z, \.ze funkcja $g(x)=(x-a)f(x)$ jest r\'o\.zniczkowalna
w~punkcie $x=a$.
\hfill [15 p.]

\item
Korzystaj\k{a}c z regu{\l}y de l'H\^ospitala oblicz
\hfill [25 p.]
$$
\lim_{x\to 0} \frac{(e^{x^2}-\cos x)\ctg x}{1+x^2}.
$$

\item
Napisz wielomian Maclaurina $W_2(x)$ stopnia drugiego
dla funkcji $f(x)=\sqrt{1+2x}$. Oszacuj (mo\.zliwie
dobrze) dok{\l}adno\'s\'c wzoru przybli\.zonego
$\sqrt{1,02}\approx W_2(0,01)$.
\hfill [30 p.]

\item
Oblicz ca{\l}k\k{e}
\hfill [30 p.]
$$
\int\frac{\ln x+2}{3x\ln^2x + 7x}\,dx.
$$
\end{enumerate}

\vspace{15mm}

\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Drugie kolokwium jeszcze raz}

30 stycznia 2004
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
Funkcja $f\colon\R\to\R$ jest ci\k{a}g{\l}a i okresowa.
Udowodnij, \.ze $f$ jest jednostajnie ci\k{a}g{\l}a.
\hfill [19 p.]

\item 
Uzasadnij to\.zsamo\'s\'c
\hfill [15 p.]
$$
2 \arctg x + \arcsin \frac{2x}{1+x^2} = \pi \sgn x\qquad
\textrm{dla $|x|\geq1$.}
$$

\item
Korzystaj\k{a}c z regu{\l}y de l'H\^ospitala oblicz
\hfill [15 p.]
$$
\lim_{x\to 0} \frac{(e^{x^2}-\cos x)\ctg x}{1+x^2}.
$$

%\item
%Funkcje $f,g\colon \R\to(0,\infty)$ s\k{a}
%r\'o\.zniczkowalne oraz $f(0)g(0)=f(1)g(1)$.
%Udowodnij, \.ze dla pewnego $x\in \R$ zachodzi
%r\'owno\'s\'c
%$$
% \frac{f'(x)}{f(x)}= -\frac{g'(x)}{g(x)}.
%$$
%
%Znajd\'z
%mo\.zliwie ma{\l}\k{a} liczb\k{e} $a$,
%dla kt\'orej zachodzi nier\'owno\'s\'c 
%$$(*)\qquad
%(1-a)\sin x +a\tg x>x, \qquad x\in(0,\frac{\pi}{2})
%$$
%i udowodnij t\k{e} nier\'owno\'s\'c dla znalezionego $a$.
%(Nie trzeba znale\'z\'c najmniejszego mo\.zliwego $a$,
%dla kt\'orego $(*)$ jest prawdziwa,
%jednak im mniejsze $a$, tym wy\.zsza punktacja).
%W razie k{\l}opot\'ow udowodnij $(*)$ dla $a=1$.
%\hfill [20 p.]

\item
Napisz wielomian Maclaurina $W_2(x)$ stopnia drugiego
dla funkcji $f(x)=\sqrt{1+2x}$. Oszacuj (mo\.zliwie
dobrze) dok{\l}adno\'s\'c wzoru przybli\.zonego
$\sqrt{0,98}\approx W_2(-0,01)$.
\hfill [19 p.]

\item
Oblicz ca{\l}ki
\hfill [32 p.]
$$
\textrm{(a) } \int\frac{\ln x+3}{2x\ln^2x + 4x\ln x+5x}\,dx\,;\qquad
\textrm{(a) } \int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\sin(2x)+\cos^2x}.
$$
\end{enumerate}

\end{document}







