ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA) Kolokwium 2, grupa δ, 23 stycznia 2004

1. Sprawdź z definicji, że funkcja f(x) = \sqrt{x}sin \sqrt{x} jest jednostajnie ciągła na [1, ∞). [15 p.]

2. Niech P (x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1} x^{n−1} + ⋯+ a_{1}x + a_{0}. Uzasadnij, że P′(x) = a_{1} + a_{2} + ⋯+ a_{n} dla pewnego x ∈ ℝ. [15 p.]

3. Co jest większe: π^{e} czy e^{π}? Odpowiedź uzasadnij. [20 p.]

4. Oblicz tg44^{∘} z dokładnością do 10^{−4} . [18 p.]

5. Oblicz całki: [32 p.]

(a)∫ \frac{dx}{\sqrt{x^{2} − 4x + 3} + x − 1} ;  (b)∫ \frac{dx}{4 + cosx} ;  (c)∫_{1}^{2} \frac{sin(\frac{1}{x})}{x^{3}} dx.

ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA) Kolokwium 2, grupa η (nieco łatwiejsza), 23 stycznia 2004

1. Sprawdź z definicji, że funkcja f(x) = x^{2} cosx jest jednostajnie ciągła na (0, 2π). [15 p.]

2. Oblicz lim_{x→0} ( \frac{1}{x} − \frac{1}{e^{x} − 1} ) . [15 p.]

3. Co jest większe: π^{e} czy e^{π}? Odpowiedź uzasadnij. [20 p.]

4. Oblicz ctg47^{∘} z dokładnością do 10^{−3} . [18 p.]

5. Oblicz całki: [32 p.]

(a)∫ \frac{dx}{\sqrt{x^{2} − 2x + 2} + x − 2} ;  (b)∫ \frac{dx}{4 − cosx} ;  (c)∫_{0}^{1}(1 − x)^{5}e^{(1−x)^{3}} dx.