WPPT (Matematyka)  Analiza matematyczna 1  Kolokwium nr 1, 2 XII 2005

Grupa A

1. (a) Sprawdź bezpośrednio z definicji Cauchy’ego, że funkcja f(x) = \sqrt{x} jest ciągła w punkcie x_{0} = 1.

(b) Znajdź zbiór punktów ciągłości funkcji określonej wzorami g(x) = x cos \frac{1}{x} dla x ≠ 0 oraz g(0) = 0.

(c) Funkcja f : ℝ → ℝ spełnia nierówność 2|f(x) − x| |f(x)| dla każdego x ∈ ℝ. Uzasadnij, że f jest ciągła w punkcie x_{0} = 0.

2. Oblicz

lim_{n→∞} ( \frac{3 + n}{1 + n} ) ^{n+sin n} .

3. Ciąg (x_{n}) jest zdefiniowany rekurencyjnie: x_{1} = 0, x_{2} = 1 oraz x_{n+2} = \frac{x_{n} +x_{n+1}}{2} dla n = 1, 2, …. Uzasadnij, że (x_{n}) jest zbieżny do granicy właściwej.

4. Oblicz:

(a) lim_{x→64} \frac{^{3} \sqrt{x} − 4}{\sqrt{x} − 8} , (b) lim inf_{x→∞}g(x) oraz lim sup_{x→∞}g(x) dla g(x) = \frac{x}{2} − [ \frac{x}{2}] − \frac{2}{x}.

5. Załóżmy, że funkcja f : (a, b] → ℝ, −∞ < a < b, monotonicznie rośnie i jest ograniczona z dołu. Uzasadnij, że istnieje skończona granica lim_{x→a^{+}} f(x).

Grupa B

1. (a) Sprawdź bezpośrednio z definicji Cauchy’ego, że funkcja g(x) = \sqrt{x + 1} jest ciągła w punkcie x_{0} = 0.

(b) Znajdź zbiór punktów ciągłości funkcji określonej wzorami f(x) = x sin \frac{1}{x} dla x ≠ 0 oraz f(0) = 0.

(c) Funkcja f : ℝ → ℝ spełnia nierówność 2|f(x) − x| |f(x)| dla każdego x ∈ ℝ. Uzasadnij, że f jest ciągła w punkcie x_{0} = 0.

2. Oblicz

lim_{n→∞} ( \frac{n − 1}{n + 1} ) ^{n−cos n} .

3. Ciąg (y_{n}) jest zdefiniowany rekurencyjnie: y_{1} = 0, y_{2} = 1 oraz y_{n+2} = \frac{y_{n} +y_{n+1}}{2} dla n = 1, 2, …. Uzasadnij, że (y_{n}) jest zbieżny do granicy właściwej.

4. Oblicz:

(a) lim_{x→27} \frac{3\sqrt{3} − \sqrt{x}}{^{3} \sqrt{x} − 3} , (b) lim inf_{x→∞}f(x) oraz lim sup_{x→∞}f(x) dla f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2} − [ \frac{x}{2}].

5. Załóżmy, że funkcja g : [a, b) → ℝ, a < b < ∞, monotonicznie maleje i jest ograniczona z dołu. Uzasadnij, że istnieje skończona granica lim_{x→b^{−}} g(x).