\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
%\usepackage{amsmath,amstext,amssymb,amsopn,amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsopn}
\usepackage{fancyhdr}

\addtolength{\textwidth}{+30mm}
\addtolength{\hoffset}{-15mm}
%\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
\addtolength{\voffset}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{+20mm}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\lin}{{\textrm{lin}}}
\newcommand{\lins}{{\textrm{lin}\,}}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\footnotesize{WPPT (Matematyka)} }
\fancyhead[C]{\footnotesize{Analiza matematyczna 1}}
\fancyhead[R]{\footnotesize{Kolokwium nr 1, 2 XII 2005}}
%\addtolength{\headheight}{-5mm}

\begin{document}
\begin{center}
{\large Grupa A}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
\begin{itemize}
\item[(a)]
Sprawd\'z bezpo\'srednio z~definicji Cauchy'ego, \.ze funkcja
$f(x)=\sqrt{x}$ jest ci\k{a}g{\l}a w~punkcie $x_0=1$.
\item[(b)]
Znajd\'z zbi\'or punkt\'ow ci\k{a}g{\l}o\'sci funkcji okre\'slonej wzorami
$g(x)=x\cos\frac{1}{x}$ dla $x\neq 0$ oraz $g(0)=0$.
\item[(c)]
Funkcja $f:\R\to\R$ spe{\l}nia nier\'owno\'s\'c $2|f(x)-x|\leq |f(x)|$
dla ka\.zdego $x\in\R$. Uzasadnij, \.ze $f$ jest ci\k{a}g{\l}a w~punkcie
$x_0=0$.
\end{itemize}


\item
Oblicz
$$
\lim_{n\to\infty} \left(\frac{3+n}{1+n}\right)^{n+\sin n}.
$$

\item
Ci\k{a}g $(x_n)$ jest zdefiniowany rekurencyjnie: $x_1=0$, $x_2=1$
oraz $x_{n+2}=\frac{x_n+x_{n+1}}{2}$ dla $n=1$, $2$, \ldots.
Uzasadnij, \.ze $(x_n)$ jest zbie\.zny do granicy w{\l}a\'sciwej.

%\item
%Ci\k{a}g $(a_n)$ jest zbie\.zny do granicy w{\l}a\'sciwej $g$.
%Uzasadnij, \.ze r\'ownie\.z ci\k{a}g \'srednich arytmetycznych:
%$(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n})$ jest zbie\.zny.

\item
Oblicz:
$$
\textrm{(a) } \lim_{x\to 64}\frac{\sqrt[3]{x}-4}{\sqrt{x}-8},\qquad
\textrm{(b) } \liminf_{x\to \infty} g(x)\, \textrm{ oraz } \,
  \limsup_{x\to\infty} g(x) 
     \textrm{ dla $g(x)=\frac{x}{2}-\left[\frac{x}{2}\right] -\frac{2}{x}$. }
$$

\item
Za{\l}\'o\.zmy, \.ze funkcja $f:(a,b]\to \R$, $-\infty<a<b$, monotonicznie
ro\'snie i~jest ograniczona z~do{\l}u.
Uzasadnij, \.ze istnieje sko\'nczona granica $\lim_{x\to a^+} f(x)$.

\end{enumerate}

\newpage

\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\footnotesize{WPPT (Matematyka)} }
\fancyhead[C]{\footnotesize{Analiza matematyczna 1}}
\fancyhead[R]{\footnotesize{Kolokwium nr 1, 2 XII 2005}}
%\addtolength{\headheight}{-5mm}

\begin{center}
{\large Grupa B}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
\begin{itemize}
\item[(a)]
Sprawd\'z bezpo\'srednio z~definicji Cauchy'ego, \.ze funkcja
$g(x)=\sqrt{x+1}$ jest ci\k{a}g{\l}a w~punkcie $x_0=0$.
\item[(b)]
Znajd\'z zbi\'or punkt\'ow ci\k{a}g{\l}o\'sci funkcji okre\'slonej wzorami
$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$ dla $x\neq 0$ oraz $f(0)=0$.
\item[(c)]
Funkcja $f:\R\to\R$ spe{\l}nia nier\'owno\'s\'c $2|f(x)-x|\leq |f(x)|$
dla ka\.zdego $x\in\R$. Uzasadnij, \.ze $f$ jest ci\k{a}g{\l}a w~punkcie
$x_0=0$.
\end{itemize}


\item
Oblicz
$$
\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-\cos n}.
$$

\item
Ci\k{a}g $(y_n)$ jest zdefiniowany rekurencyjnie: $y_1=0$, $y_2=1$
oraz $y_{n+2}=\frac{y_n+y_{n+1}}{2}$ dla $n=1$, $2$, \ldots.
Uzasadnij, \.ze $(y_n)$ jest zbie\.zny do granicy w{\l}a\'sciwej.

%\item
%Ci\k{a}g $(a_n)$ jest zbie\.zny do granicy w{\l}a\'sciwej $g$.
%Uzasadnij, \.ze r\'ownie\.z ci\k{a}g \'srednich arytmetycznych:
%$(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n})$ jest zbie\.zny.

\item
Oblicz:
$$
\textrm{(a) } \lim_{x\to 27}\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}-3},\qquad
\textrm{(b) } \liminf_{x\to \infty} f(x)\, \textrm{ oraz } \,
  \limsup_{x\to\infty} f(x) 
     \textrm{ dla $f(x)=\frac{2}{x}+\frac{x}{2}-\left[\frac{x}{2}\right]$. }
$$

\item
Za{\l}\'o\.zmy, \.ze funkcja $g:[a,b)\to \R$, $a<b<\infty$, monotonicznie
maleje i~jest ograniczona z~do{\l}u.
Uzasadnij, \.ze istnieje sko\'nczona granica $\lim_{x\to b^-} g(x)$.

\end{enumerate}


\end{document}
