ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium 2, 27 stycznia 2006

1. Funkcja f : ℝ → ℝ jest ciągła oraz

lim_{x→−∞} f(x) = lim_{x→∞} f(x) = 0.

Udowodnij, że f jest ciągła jednostajnie na ℝ. [11 p.]

2. (a) Sformułuj twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej. [1 p.]

(b) Uzasadnij korzystając z (a), że jeśli f, g : (a, b) → ℝ są różniczkowalne i f′(x) = g′(x) dla każdego x ∈ (a, b), to istnieje liczba c ∈ ℝ taka, że f(x) = g(x) + c dla każdego x ∈ (a, b). [4 p.]

(c) Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, oblicz pochodną funkcji arccos, czyli funkcji odwrotnej do funkcji cosinus rozpatrywanej na odcinku [0, π]. [3 p.]

(d) Uzasadnij, że 3 arccosx − arccos(3x − 4x^{3}) = π dla x ∈ (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}). [3 p.]

3. Napisz wielomian Taylora stopnia 2 dla funkcji f(x) = cos2x w punkcie x_{0} = π/2 oraz resztę w dowolnej postaci, następnie oszacuj tę resztę z góry dla |x − π/2| < \frac{1}{4}. [7 p.]

4. (a) Napisz wielomiany Maclaurina n-tego stopnia funkcji sin, cos, exp. [2 p.] (b) Używając notacji o(x) i części (a) zadania, oblicz granicę [8 p.]

lim_{x→0} \frac{cos(2x) − e^{2x^{2}}}{x sinx − x^{2}} .

Uwaga. Można w ostateczności obliczyć powyższą granicę korzystając z reguły de l’Hôspitala (3 punkty zamiast 8).

Uwaga 2 (dodana później). W zamierzeniu miała być do policzenia granica

lim_{x→0} \frac{cos(2x) − e^{−2x^{2}}}{x sinx − x^{2}} .

5. Oblicz całki nieoznaczone [4+7 p.]

∫ e^{x} sin2x dx; ∫ \frac{x^{2}}{x^{2} − x + 1} dx.

Łączna punktacja: 11+11+7+10+11=50 punktów. Powodzenia!