\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
\usepackage{amsfonts, amsopn,amsmath}
\pagestyle{empty}

\topmargin    -10mm
\textheight    267.0mm
\textwidth     175mm
\oddsidemargin -10mm
\arraycolsep   2.0pt

%\addtolength{\textwidth}{+20mm}
%\addtolength{\hoffset}{-10mm}
%\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
%\addtolength{\voffset}{-25mm}
%\addtolength{\textheight}{+40mm}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}

%\newcommand{\lin}{{\textrm{lin}}}
%\newcommand{\lins}{{\textrm{lin}\,}}

%\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
%\DeclareMathOperator{\conv}{conv}


\begin{document}
{\large

\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium 2},
27 stycznia 2006
\end{center}


\begin{enumerate}
\item
Funkcja $f:\R\to\R$ jest ci\k{a}g{\l}a oraz 
$$\lim_{x\to -\infty} f(x)= \lim_{x\to \infty} f(x) = 0.
$$
Udowodnij, \.ze $f$ jest ci\k{a}g{\l}a jednostajnie na $\R$.
\hfill [11 p.]

\item 
\begin{itemize}
\item[(a)] Sformu{\l}uj twierdzenie Lagrange'a o warto\'sci \'sredniej.
\hfill [1~p.]
\item[(b)] Uzasadnij korzystaj\k{a}c z (a), \.ze je\'sli $f$, 
  $g:(a,b)\to\R$ s\k{a} r\'o\.zniczkowalne i~$f'(x)=g'(x)$ dla ka\.zdego
  $x\in(a,b)$, to istnieje liczba $c\in\R$ taka, \.ze $f(x)=g(x)+c$
  dla ka\.zdego $x\in(a,b)$.
\hfill [4~p.]
\item[(c)] Korzystaj\k{a}c z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej,
  oblicz pochodn\k{a} funkcji $\arccos$, czyli funkcji odwrotnej do
  funkcji cosinus rozpatrywanej na odcinku $[0,\pi]$.
\hfill [3~p.]
\item[(d)] Uzasadnij, \.ze
$3\arccos x - \arccos(3x-4x^3)=\pi$ %\quad \textrm{
dla $x\in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
\hfill [3~p.]
\end{itemize}

\item
Napisz wielomian Taylora stopnia $2$ dla funkcji $f(x)=\cos 2x$ w~punkcie
$x_0=\pi/2$ oraz reszt\k{e} w~dowolnej postaci,
 nast\k{e}pnie oszacuj t\k{e} reszt\k{e} z~g\'ory dla
$|x-\pi/2|<\frac{1}{4}$.
 \hfill [7 p.]

\item
\begin{itemize}
\item[(a)] Napisz wielomiany Maclaurina $n$-tego stopnia
funkcji $\sin$, $\cos$, $\exp$.
\hfill [2 p.]
\item[(b)] U\.zywaj\k{a}c notacji $o(x)$ i~cz\k{e}\'sci (a) zadania, oblicz
granic\k{e}
\hfill [8 p.]
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(2x)-e^{2x^2}}{x\sin x - x^2}.
$$

\noindent
\emph{Uwaga.} Mo\.zna w~ostateczno\'sci obliczy\'c powy\.zsz\k{a}
granic\k{e} korzystaj\k{a}c z regu{\l}y de l'H\^ospitala (3~punkty zamiast 8).

\noindent
{\small
\emph{Uwaga 2 (dodana p\'o\'zniej).} 
W zamierzeniu mia{\l}a by\'c do policzenia granica
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(2x)-e^{-2x^2}}{x\sin x - x^2}.
$$
}
\end{itemize}

\item
Oblicz ca{\l}ki nieoznaczone
\hfill [4+7 p.]
$$
\int e^x\sin 2x \,dx; \qquad
\int \frac{x^2}{x^2-x+1}\,dx.
$$
\end{enumerate}

\vspace{5mm}
{\L}\k{a}czna punktacja: 11+11+7+10+11=50 punkt\'ow.

\vspace{1mm}
Powodzenia!
}
\end{document}







