ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)

31 stycznia 2006

1. Funkcja f : [0, ∞) → ℝ jest ciągła oraz f(x) = x^{x} dla x > 0. Znajdź wartość f(0) (wsk. reguła de l’Hôspitala); znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f na odcinku [0, 2].

2. (a) Sformułuj twierdzenie Darboux.

(b) Uzasadnij, że równanie f(x−[x]) = 6/7 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach rzeczywistych x, gdzie f(x) = x^{14} + 2x^{11} − 2x.

3. Oblicz ∫(ctgx)^{2} dx.

4. Oblicz

lim inf_{n→∞} ( \frac{n + 2}{n − 1} ) ^{2\sqrt{n^{2}+1}} oraz lim sup_{n→∞}( \frac{n + 2}{n − 1} ) ^{2\sqrt{n^{2}+1}} .

Uwaga. Rozwiązanie połowy z powyższych zadań uprawniało jedynie do pisania egzaminu pomimo niezaliczonych ćwiczeń (i nic ponadto!).