Analiza Matematyczna 1 – Kolokwium 1

1. Udowodnić, że dla każdego n 2 spełniona jest nierówność

1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ⋯+ \frac{1}{\sqrt{n}} > 2( \sqrt{n + 1} − 1).

2. Obliczyć granicę

lim_{n→∞} \frac{ln(3^{n} + 6^{n}) − ln(2 + 3^{n})}{ln(1 + 3^{n})} .

3. Ciąg (x_{n}) zadany jest warunkami

x_{1} = 1 i x_{n+1} = 1 + \sqrt{x_{n} + 5} dla dowolnego n 1.

Sprawdzić, że ciąg (x_{n}) jest ograniczony i monotoniczny. Obliczyć jego granicę.

4. Niech p będzie ustaloną liczbą pierwszą. Na zbiorze ℤ × ℤ definiujemy funkcję d następująco:

d(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{p^{n}} & gdy x ≠ y oraz p^{n}|(x − y), ale p^{n+1} |̸(x − y); (tutaj n = 0, 1, 2, …) \\ 0 & gdy x = y . \end{matrix}

Sprawdzić, że d jest metryką. Jak wygląda kula K(0, 1)?

5. Niech ciąg (a_{n}) będzie zbieżny. Udowodnić, że ciąg (a_{n}) zawiera podciąg monotoniczny. Czy założenie zbieżności (a_{n}) można zastąpić założeniem tylko ograniczoności? A czy można to założenie w ogóle pominąć?