\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
\usepackage{amsfonts, amsopn,amsmath}

\oddsidemargin 2.50mm
\arraycolsep   2.0pt
\pagestyle{empty}

\addtolength{\textwidth}{+30mm}
\addtolength{\hoffset}{-10mm}
\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
\addtolength{\voffset}{-25mm}
\addtolength{\textheight}{+50mm}

\newcommand{\Riem}{{\mathcal{R}}}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}

\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator{\dyw}{div}
\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
%\DeclareMathOperator{\conv}{conv}


\begin{document}
\begin{center}
 {\large
 Analiza Matematyczna 1 -- Kolokwium 1 \vspace{20pt}
 }
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
Udowodni\'c, \.ze dla ka\.zdego $n\ge 2$ spe{\l}niona jest nier\'owno\'s\'c
$$
1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2\big(\sqrt{n+1}-1\big).
$$

\item Obliczy\'c granic\k{e}
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(3^n + 6^n) - \ln(2 + 3^n)}{\ln(1 + 3^n)}.
$$

\item Ci\k{a}g $(x_n)$ zadany jest warunkami
$$
x_1 = 1 \quad \text{i} \quad x_{n + 1} = 1 + \sqrt{x_n + 5} \quad \text{dla dowolnego $n \ge 1$.}
$$
Sprawdzi\'c, \.ze ci\k{a}g $(x_n)$ jest ograniczony i monotoniczny. Obliczy\'c jego granic\k{e}.

\item
Niech $p$ b\k{e}dzie ustalon\k{a} liczb\k{a} pierwsz\k{a}.
Na zbiorze $\Z\times\Z$ definiujemy funkcj\k{e} $d$ nast\k{e}puj\k{a}co:
$$
d(x, y) = 
 \left\{
\begin{array}{cl}
 {\displaystyle\frac{1}{p^n}}\quad
    & \textrm{gdy $x\neq y$ oraz $p^n | (x-y)$, ale $p^{n+1} \not | (x-y)$; \quad
 \emph{(tutaj $n=0,1,2,\ldots$)}}\vspace{4mm}\\
 {\displaystyle 0}\quad & \textrm{gdy $x=y$}.
\end{array} \right.
$$
Sprawdzi\'c, \.ze $d$ jest metryk\k{a}.
Jak wygl\k{a}da kula $K(0,1)$?


\item Niech ci\k{a}g $(a_n)$ b\k{e}dzie zbie\.zny. Udowodni\'c, \.ze ci\k{a}g $(a_n)$ zawiera podci\k{a}g monotoniczny. 

Czy za{\l}o\.zenie zbie\.zno\'sci $(a_n)$ mo\.zna zast\k{a}pi\'c za{\l}o\.zeniem tylko
ograniczono\'sci?

A czy mo\.zna to za{\l}o\.zenie w og\'ole pomin\k{a}\'c?
\end{enumerate}
\end{document}


