Analiza Matematyczna 1 – Kolokwium 2, grupa ♣

1. Obliczyć granicę

lim_{x→0^{+}} (ctg(πx))^{x}.

2. Funkcja f: [0, 1] −→ [0, 1] jest ciągła. Pokazać, że istnieje punkt c ∈ [0, 1] taki, że f(c) = 1 − c. Wskazówka: wykonać rysunek pomocniczy.

3. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = x sin(πx) w punkcie x_{0} = 2 z resztą R_{3}. Oszacować wielkość otrzymanej reszty dla |x − 2| < 1/4.

4. Funkcja f : ℝ → ℝ jest ciągła jednostajnie i ograniczona, a g : ℝ → ℝ – ciągła. Uzasadnić, że złożenie g ∘ f jest funkcją jednostajnie ciągłą. Czy można pominąć założenie ograniczoności f? Czy można zastąpić założenie ciągłości jednostajnej f założeniem ciągłości? Odpowiedzi uzasadnić.

5. Funkcja f : ℝ → ℝ jest różniczkowalna. Załóżmy, że lim_{x→∞} f(x) istnieje i jest skończona, oraz lim_{x→∞}(f(x) + f′(x)) = 0 . Pokazać, że lim_{x→∞} f(x) = 0 .

Analiza Matematyczna 1 – Kolokwium 2, grupa ♢

1. Obliczyć granicę

lim_{x→0^{+}} (ctg2x)^{\frac{1}{ln x}} .

2. Funkcja f: [0, 1] −→ [0, 1] jest ciągła. Pokazać, że istnieje punkt c ∈ [0, 1] taki, że f(c) = c^{2}. Wskazówka: wykonać rysunek pomocniczy.

3. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = x cos(\frac{π}{2}x) w punkcie x_{0} = 1 z resztą R_{3}. Oszacować wielkość otrzymanej reszty dla |x − 1| < 1/3.

4. Funkcja f : ℝ → ℝ jest ciągła jednostajnie i ograniczona, a g : ℝ → ℝ – ciągła. Uzasadnić, że złożenie g ∘ f jest funkcją jednostajnie ciągłą. Czy można pominąć założenie ograniczoności f? Czy można zastąpić założenie ciągłości jednostajnej f założeniem ciągłości? Odpowiedzi uzasadnić.

5. Funkcja f : ℝ → ℝ jest różniczkowalna. Załóżmy, że lim_{x→∞} f(x) istnieje i jest skończona, oraz lim_{x→∞}(f(x) + f′(x)) = 0 . Pokazać, że lim_{x→∞} f(x) = 0 .