\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
\usepackage{amsfonts, amsopn,amsmath}

\oddsidemargin 2.50mm
\arraycolsep   2.0pt
\pagestyle{empty}

\addtolength{\textwidth}{+30mm}
\addtolength{\hoffset}{-10mm}
\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
\addtolength{\voffset}{-25mm}
\addtolength{\textheight}{+50mm}

\newcommand{\Riem}{{\mathcal{R}}}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}

\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator{\dyw}{div}
\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
%\DeclareMathOperator{\conv}{conv}


\begin{document}
\begin{center}
 {\large
 Analiza Matematyczna 1 -- Kolokwium 2, grupa $\clubsuit$\vspace{20pt}
 }
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Obliczy\'c granic\k{e}
$$
 %\lim_{x \to 1^+} (\ctg(\pi x))^{(x - 1)}.
 \lim_{x \to 0^+} (\ctg(\pi x))^x.
$$
  
\item
 Funkcja $f \colon [0,1] \longrightarrow [0,1]$ jest ci\k{a}g{\l}a. Pokaza\'c,
 \.ze istnieje
 punkt $c \in [0,1]$ taki, \.ze $f(c) = 1-c$. \emph{Wskaz\'owka: wykona\'c
 rysunek pomocniczy.}

\item
Napisa\'c wz\'or Taylora dla funkcji $f(x)=x\sin(\pi x)$
w punkcie $x_0=2$ z~reszt\k{a} $R_3$. Oszacowa\'c wielko\'s\'c
otrzymanej reszty dla $|x-2| < 1/4$.

 
\item
Funkcja $f:\R\to \R$ jest ci\k{a}g{\l}a jednostajnie i ograniczona,
a $g:\R\to \R$ -- ci\k{a}g{\l}a. Uzasadni\'c, \.ze z{\l}o\.zenie %$x \mapsto g(f(x))$
$g\circ f$
jest funkcj\k{a} jednostajnie ci\k{a}g{\l}\k{a}.
Czy mo\.zna pomin\k{a}\'c za{\l}o\.zenie ograniczono\'sci $f$?
Czy mo\.zna zast\k{a}pi\'c za{\l}o\.zenie ci\k{a}g{\l}o\'sci jednostajnej $f$
za{\l}o\.zeniem ci\k{a}g{\l}o\'sci?
Odpowiedzi uzasadni\'c.

\item
Funkcja $f:\R\to\R$ jest r\'o\.zniczkowalna.
 Za{\l}\'o\.zmy, \.ze ${\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)}$
  istnieje i~jest sko\'nczona,
oraz ${\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) + f'(x)) = 0}$.
Pokaza\'c, \.ze
${\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 0}$.
\end{enumerate}

%% druga grupa -------------------------------------------------------------------

\vspace{30mm}

\begin{center}
 {\large
 Analiza Matematyczna 1 -- Kolokwium 2, grupa $\diamondsuit$\vspace{20pt}
 }
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Obliczy\'c granic\k{e}
$$\lim_{x\to0^{+}} (\ctg{2x})^{\frac1{\ln{x}}}.$$

% $$\lim_{x\to0} \ctg{x}\,\ln(x+e^x)$$

\item
 Funkcja $f \colon [0,1] \longrightarrow [0,1]$ jest ci\k{a}g{\l}a. Pokaza\'c,
 \.ze istnieje
 punkt $c \in [0,1]$ taki, \.ze $f(c) = c^2$. \emph{Wskaz\'owka: wykona\'c
 rysunek pomocniczy.}

\item
Napisa\'c wz\'or Taylora dla funkcji $f(x)=x\cos(\frac{\pi}{2}x)$
w punkcie $x_0=1$ z~reszt\k{a} $R_3$. Oszacowa\'c wielko\'s\'c
otrzymanej reszty dla $|x-1| < 1/3$.

 
\item
Funkcja $f:\R\to \R$ jest ci\k{a}g{\l}a jednostajnie i ograniczona,
a $g:\R\to \R$ -- ci\k{a}g{\l}a. Uzasadni\'c, \.ze z{\l}o\.zenie %$x \mapsto g(f(x))$
$g\circ f$
jest funkcj\k{a} jednostajnie ci\k{a}g{\l}\k{a}.
Czy mo\.zna pomin\k{a}\'c za{\l}o\.zenie ograniczono\'sci $f$?
Czy mo\.zna zast\k{a}pi\'c za{\l}o\.zenie ci\k{a}g{\l}o\'sci jednostajnej $f$
za{\l}o\.zeniem ci\k{a}g{\l}o\'sci?
Odpowiedzi uzasadni\'c.

\item
Funkcja $f:\R\to\R$ jest r\'o\.zniczkowalna.
 Za{\l}\'o\.zmy, \.ze ${\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)}$
  istnieje i~jest sko\'nczona,
oraz ${\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) + f'(x)) = 0}$.
Pokaza\'c, \.ze
${\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 0}$.
\end{enumerate}

\end{document}


