ANALIZA MATEMATYCZNA 2 WPPT M I/2

Kolokwium nr 1bis, 10.05.04

Uwaga: należy formułować wykorzystywane kryteria zbieżności szeregów i całek!

Zad.1. Załóżmy, że a_{n} 0 i ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} < ∞. Uzasadnij, że

∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{1} + 2a_{2} + … + na_{n}}{n(n + 1)} = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}.

Zad.2. Zbadaj zbieżność (bezwzględną i warunkową) szeregów:

(A) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1 · 4 · . . . · (3n − 2)}{(2n)^{n}}; (B) ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n log_{2} n}; (C) ∑_{n=1}^{∞} \frac{[(−1)^{n} − 1]^{n}}{n^{2} + 2^{n}} .

Uwaga: Wiemy, dla jakich q i a szeregi postaci ∑ _{n=1}^{∞} q^{n} oraz ∑ _{n=1}^{∞} n^{a} są zbieżne, a dla jakich rozbieżne; można z tego korzystać bez dowodu. Natomiast zbieżność lub rozbieżność szeregów innej postaci należy uzasadnić!

Zad.3. (A) Czy z bezwzględnej zbieżności szeregu ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} wynika bezwzględna zbieżność

szeregu ∑ _{n=1}^{∞} a_{n}(1 + a_{n})? (B) Czy ze zbieżności szeregu ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} wynika zbieżność szeregu ∑ _{n=1}^{∞} a_{n}(1 + a_{n})? Odpowiedzi uzasadnij podając dowód lub kontrprzykład.

Zad.4. Zbadaj zbieżność całek niewłaściwych:

(A) ∫_{0}^{1} \frac{1 − cosx}{x^{2} sinx} dx, (B) ∫_{1}^{∞} \frac{(−1)^{[2x]}dx}{(arctgx)^{2}} , (C) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{x^{2} + \sqrt{|x|}} , (D) ∫_{−∞}^{0} x^{9}e^{2x}dx.

Zad.5. Oblicz granicę

lim_{n→∞} ∑_{k=2}^{n} \frac{e^{− \frac{k}{n}} cos \frac{kπ}{n}}{3n + 2} .

Punktacja: zadanie 1: 18 punktów, zadanie 2: 19 punktów, zadanie 3: 13 punktów, zadanie 4: 7+9+9+12 = 37 punktów, zadanie 5: 13 punktów.