\documentclass[a4paper,11pt]{amsbook}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{eucal}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
% \usepackage[dutch]{babel}
% \usepackage[cp1252]{inputenc}
\prefixing
\pagestyle{empty}
\addtolength{\textwidth}{+3.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\voffset}{-2.5cm}
\addtolength{\textheight}{+3.2cm}
\DeclareMathOperator{\lin}{lin}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\noindent
\large{\textbf{ANALIZA MATEMATYCZNA 2\;\;} \hfill \textbf{WPPT M I$\slash$2}}

\vspace{25pt}

\begin{center}
\huge{\textbf{Kolokwium nr 1bis, 10.05.04}}
\end{center}

\vspace{35pt}

Uwaga: nale\.zy formu{\l}owa\'c wykorzystywane kryteria zbie\.zno\'sci
szereg\'ow \mbox{i~ca{\l}ek}!

\vspace{5pt}

\begin{enumerate}

\item[\textbf{Zad.1.}]
Za{\l}\'o\.zmy, \.ze $a_n\ge0$ i $\sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty$.
Uzasadnij, \.ze
\vspace{5pt}
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_1+2a_2+\ldots+na_n}{n(n+1)}
=
\sum_{n=1}^{\infty}a_n.
$$

\vspace{10pt}

\item[\textbf{Zad.2.}]
Zbadaj zbie\.zno\'s\'c (bezwzgl\k edn\k a i warunkow\k a) szereg\'ow:
\vspace{5pt}
$$
{\rm(A)}\hspace{2mm}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot (3n-2)}
 {(2n)^n}
  ;\hspace{6mm}
{\rm(B)}\hspace{2mm}
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n \log_2 n}
  ;\hspace{6mm}
{\rm(C)}\hspace{2mm}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{[(-1)^n-1]^n}{n^2+2^n}.
$$
\vspace{3pt}

\noindent
Uwaga: 
Wiemy, dla jakich $q$ i $a$ szeregi postaci
$\sum_{n=1}^\infty q^n$ oraz
$\sum_{n=1}^\infty n^a$ s\k{a} zbie\.zne,
a~dla jakich rozbie\.zne; mo\.zna z~tego
korzysta\'c bez dowodu.
Natomiast zbie\.zno\'s\'c lub rozbie\.zno\'s\'c
szereg\'ow innej postaci nale\.zy uzasadni\'c!

\vspace{5pt}

\item[\textbf{Zad.3.}]
\begin{itemize}
\item[(A)]
Czy z bezwzgl\k{e}dnej zbie\.zno\'sci
szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$
wynika bezwzgl\k{e}dna 
zbie\.zno\'s\'c szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n(1+a_n)$?
\item[(B)]
Czy ze zbie\.zno\'sci
szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$
wynika 
zbie\.zno\'s\'c szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n(1+a_n)$?
\end{itemize}
\noindent
Odpowiedzi uzasadnij podaj\k{a}c dow\'od
lub kontrprzyk{\l}ad.

%Niech ${\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n}$
% b\k{e}dzie iloczynem Cauchy'ego
%szereg\'ow ${\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}}$
%oraz ${\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}}$.
%\mbox{Oblicz} $c_0$, $c_1$, $c_2$.
%Czy szereg 
% ${\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n}$
%jest zbie\.zny? Odpowied\'z uzasadnij.

%Za{\l}\'o\.zmy, \.ze $a_n>0$, $\sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty$ i niech $R_n=\sum_{k=n}^{\infty}a_k$. 
%\vspace{5pt}
%\begin{enumerate}
%\item
%Korzystaj\k ac z oszacowania (kt\'ore trzeba uzasadni\'c):
%$$
%\frac{a_m}{R_m}+\frac{a_{m+1}}{R_{m+1}}\ldots+\frac{a_n}{R_n}
%>
%1-\frac{R_n}{R_m}\hspace{25mm}(m<n),
%$$ 
%wykaza\'c, \.ze szereg $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{R_n}$ jest rozbie\.zny.
%
%\vspace{5pt}
%\item
%Korzystaj\k ac z oszacowa\'n (kt\'ore te\.z trzeba uzasadni\'c):
%$$
%\frac{a_n}{\sqrt{R_n}}<2\cdot(\sqrt{R_n}-\sqrt{R_{n+1}}),
%\hspace{15mm}
%\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{\sqrt{R_n}}
%<2\cdot
%\sqrt{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n },
%$$
%wykaza\'c, \.ze szereg $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{\sqrt{R_n}}$ jest zbie\.zny.
%\end{enumerate}

\vspace{20pt}

\item[\textbf{Zad.4.}]
Zbadaj zbie\.zno\'s\'c ca{\l}ek niew{\l}a\'sciwych: 
\vspace{5pt}
$$
{\rm(A)}\hspace{2mm}
%\int_{2}^{7}\frac{dx}{(x-2)^3\cdot\sqrt[3]{(7-x)}}.
\int_0^1 \frac{1-\cos x}{x^2\sin x}\,dx,
\hspace{6mm}
{\rm(B)}\hspace{2mm}
\int_1^\infty \frac{(-1)^{[2x]}\,dx}{(\arctg x)^2},
\hspace{6mm}
{\rm(C)}\hspace{2mm}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^2+\sqrt{|x|}},
\hspace{6mm}
{\rm(D)}\hspace{2mm}
\int_{-\infty}^{0}x^9e^{2x}dx.
$$
\vspace{20pt}

\item[\textbf{Zad.5.}]
Oblicz granic\k{e}
$$
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=2}^n 
\frac{
e^{-\frac{k}{n}}
\cos \frac{k\pi}{n}
}{3n+2}.
$$
\end{enumerate}

\vspace{5pt}

\noindent
Punktacja:\\
zadanie 1:\quad 18 punkt\'ow,\\
zadanie 2:\quad 19 punkt\'ow,\\
zadanie 3:\quad 13 punkt\'ow,\\
zadanie 4:\quad 7+9+9+12 = 37 punkt\'ow,\\
zadanie 5:\quad 13 punkt\'ow.

\end{document}

