ANALIZA MATEMATYCZNA 2, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium 1, grupa ♡, 22 kwietnia 2004

Uwaga: należy formułować wykorzystywane kryteria zbieżności szeregów i całek!

1. Zbadaj zbieżność następujących szeregów:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n} sinn}{1 · 3 · . . . · (2n + 1)}; (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt[n]{n^{2}}} ;

(c) ∑_{n=1}^{∞} na_{n}^{5} przy założeniu, że ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny.

(W przykładzie (c) należy udowodnić zbieżność ∑ _{n=1}^{∞} na_{n}^{5} lub wskazać przykład szeregu zbieżnego ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} takiego, że ∑ _{n=1}^{∞} na_{n}^{5} jest rozbieżny).

2. Niech ∑_{n=0}^{∞} c_{n} będzie iloczynem Cauchy’ego szeregu ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n + 1} przez siebie.

Oblicz c_{0}, c_{1}, c_{2}. Czy szereg ∑_{n=0}^{∞} c_{n} jest bezwzględnie zbieżny? Odpowiedź

uzasadnij.

3. Udowodnij, że szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} o wyrazach rzeczywistych jest bezwzględnie zbież-

ny wtedy i tylko wtedy, gdy

∀_{ε>0} ∃_{K⊂ℕ,card K<ℵ_{0}} ∀_{M⊂ℕ,card M<ℵ_{0}} (M ∩ K = ∅ ⟹ | ∑_{m∈M} a_{m}| < ε).

4. Sprawdź z definicji, czy całka niewłaściwa ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{3} dx}{x^{4} + 1} jest zbieżna i jeśli tak, to ją oblicz.

5. Zbadaj zbieżność i bezwzględną zbieżność całek niewłaściwych

(a) ∫_{1}^{∞} \frac{(−1)^{[2x]}}{\sqrt{x}arctg(2x)} dx; (b) ∫_{0}^{1} \frac{lnx dx}{(1 − x)^{a}}

w zależności od parametru a > 0.

6. Oblicz granicę

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n^{2}} \frac{1}{n\sqrt[n]{e^{k}}} .

Uwaga: w sumie powyżej występuje n^{2} składników. W razie kłopotów z obliczeniem granicy proszę zastąpić ∑ _{k=1}^{n^{2}} przez ∑ _{k=1}^{n} . [9 zamiast 16 punktów]

Punktacja: zadanie 1: 19 punktów, zadanie 2: 11 punktów, zadanie 3: 20 punktów, zadanie 4: 8 punktów, zadanie 5: 26 punktów, zadanie 6: 16 punktów.

ANALIZA MATEMATYCZNA 2, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium 1, grupa ⋆, 22 kwietnia 2004

Uwaga: należy formułować wykorzystywane kryteria zbieżności szeregów i całek!

1. Zbadaj zbieżność następujących szeregów:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2} cosn}{(π + sinn)^{n}} ; (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(1 + \frac{1}{n})^{2n}} ;

(c) ∑_{n=1}^{∞} \sqrt{n}a_{n}^{3} przy założeniu, że ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny.

(W przykładzie (c) należy udowodnić zbieżność ∑ _{n=1}^{∞} \sqrt{n}a_{n}^{3} lub wskazać przykład szeregu zbieżnego ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} takiego, że ∑ _{n=1}^{∞} \sqrt{n}a_{n}^{3} jest rozbieżny).

2. Niech ∑_{n=0}^{∞} c_{n} będzie iloczynem Cauchy’ego szeregu ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n + 1} przez siebie.

Oblicz c_{0}, c_{1}, c_{2}. Czy szereg ∑_{n=0}^{∞} c_{n} jest bezwzględnie zbieżny? Odpowiedź

uzasadnij.

3. Udowodnij, że szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} o wyrazach rzeczywistych jest bezwzględnie zbież-

ny wtedy i tylko wtedy, gdy

∀_{ε>0} ∃_{K⊂ℕ,card K<ℵ_{0}} ∀_{M⊂ℕ,card M<ℵ_{0}} (M ∩ K = ∅ ⟹ | ∑_{m∈M} a_{m}| < ε).

4. Sprawdź z definicji, czy całka niewłaściwa ∫_{−1}^{1} \frac{x^{3} dx}{1 − x^{4}} jest zbieżna i jeśli tak, to ją oblicz.

5. Zbadaj zbieżność i bezwzględną zbieżność całek niewłaściwych

(a) ∫_{1}^{∞} \frac{(−1)^{[2x]}}{\sqrt{x}arctg(3x)} dx; (b) ∫_{0}^{1} \frac{lnx dx}{(1 − x)^{a}}

w zależności od parametru a > 0.

6. Oblicz granicę

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n^{2}} \frac{1}{n + \frac{k^{2}}{n}} .

Uwaga: w sumie powyżej występuje n^{2} składników. W razie kłopotów z obliczeniem granicy proszę zastąpić ∑ _{k=1}^{n^{2}} przez ∑ _{k=1}^{n} . [9 zamiast 16 punktów]

Punktacja: zadanie 1: 19 punktów, zadanie 2: 11 punktów, zadanie 3: 20 punktów, zadanie 4: 8 punktów, zadanie 5: 26 punktów, zadanie 6: 16 punktów.