\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
\usepackage{amsfonts, amsopn,amsmath}
\pagestyle{empty}

%\topmargin    -18mm
%\textheight    267.0mm
%\textwidth     175mm
%\oddsidemargin -10mm
%\arraycolsep   2.0pt

\addtolength{\textwidth}{+10mm}
\addtolength{\hoffset}{-5mm}
%\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
\addtolength{\voffset}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{+40mm}

\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}

%\newcommand{\lin}{{\textrm{lin}}}
%\newcommand{\lins}{{\textrm{lin}\,}}

\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
%\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
%\DeclareMathOperator{\conv}{conv}


\begin{document}
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 2, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium 1, grupa $\heartsuit$},
22 kwietnia 2004
\end{center}
\vspace{4mm}

%\noindent
Uwaga: nale\.zy formu{\l}owa\'c wykorzystywane kryteria zbie\.zno\'sci
szereg\'ow \mbox{i~ca{\l}ek}!

\begin{enumerate}
\item Zbadaj zbie\.zno\'s\'c nast\k{e}puj\k{a}cych
szereg\'ow:
$$\leftline{\indent$\displaystyle\,\:
\textrm{(a) } \sum_{n=1}^\infty 
 \frac{2^n\,\sin n}{1\cdot 3 \cdot\ldots \cdot (2n+1)};\qquad
\textrm{(b) } \sum_{n=1}^\infty 
 \frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n^2}};
$}$$
$$\leftline{\indent$\displaystyle\,\:
\textrm{(c) } \sum_{n=1}^\infty n a_n^5
\quad\textrm{przy za{\l}o\.zeniu, \.ze $\sum_{n=1}^\infty a_n$
jest zbie\.zny}.
%\textrm{(c) } \sum_{n=1}^\infty a_n(1-a_{n+1})
%\quad\textrm{przy za{\l}o\.zeniu, \.ze $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$
%jest zbie\.zny};\qquad
$}$$
(W przyk{\l}adzie (c) nale\.zy udowodni\'c zbie\.zno\'s\'c
$\sum_{n=1}^\infty na_n^5$
lub wskaza\'c przyk{\l}ad szeregu zbie\.znego $\sum_{n=1}^\infty a_n$
takiego, \.ze $\sum_{n=1}^\infty na_n^5$ jest
rozbie\.zny).

\item Niech ${\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n}$
 b\k{e}dzie iloczynem Cauchy'ego
szeregu ${\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}}$
 przez siebie.
Oblicz $c_0$, $c_1$, $c_2$. Czy szereg 
 ${\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n}$
jest bezwzgl\k{e}dnie zbie\.zny? Odpowied\'z uzasadnij.

\item Udowodnij, \.ze szereg 
${\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n}$ o wyrazach
rzeczywistych jest
bezwzgl\k{e}dnie zbie\.zny wtedy i tylko wtedy, gdy
$$
\forall_{\varepsilon>0}\;
\exists_{K\subset \N, \card K <\aleph_0}\;
\forall_{M\subset \N, \card M <\aleph_0}\;
(M\cap K=\emptyset \implies |\sum_{m\in M} a_m| <\varepsilon).
$$

\item Sprawd\'z z definicji, czy ca{\l}ka niew{\l}a\'sciwa
${\displaystyle
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^3\,dx}{x^4+1}
}$
jest zbie\.zna i je\'sli tak, to j\k{a} oblicz.

\item Zbadaj zbie\.zno\'s\'c i bezwzgl\k{e}dn\k{a}
zbie\.zno\'s\'c
 ca{\l}ek niew{\l}a\'sciwych
$$\leftline{\indent$\displaystyle\,\:
\textrm{(a) } \int_1^\infty \frac{(-1)^{[2x]}}{\sqrt{x}\arctg(2x)}
  \,dx;\qquad
\textrm{(b) } \int_0^1 \frac{\ln x\,dx}{(1-x)^a}
$}$$
w zale\.zno\'sci od parametru $a>0$.

\item Oblicz granic\k{e}
$$
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n^2} \frac{1}{n\sqrt[n]{e^k}}.
$$
Uwaga: w  sumie powy\.zej wyst\k{e}puje $n^2$ sk{\l}adnik\'ow.
W razie k{\l}opot\'ow z~obliczeniem granicy prosz\k{e}
zast\k{a}pi\'c $\sum_{k=1}^{n^2}$ przez $\sum_{k=1}^n$.
 [9 zamiast 16 punkt\'ow]
\end{enumerate}

\noindent
Punktacja:\\
zadanie 1:\quad 19 punkt\'ow,\\
zadanie 2:\quad 11 punkt\'ow,\\
zadanie 3:\quad 20 punkt\'ow,\\
zadanie 4:\quad 8 punkt\'ow,\\
zadanie 5:\quad 26 punkt\'ow,\\
zadanie 6:\quad 16 punkt\'ow.


%
% druga grupa *************************************************************
%

\newpage
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 2, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium 1, grupa {\Large $\star$}},
22 kwietnia 2004
\end{center}
\vspace{4mm}

%\noindent
Uwaga: nale\.zy formu{\l}owa\'c wykorzystywane kryteria zbie\.zno\'sci
szereg\'ow \mbox{i~ca{\l}ek}!

\begin{enumerate}
\item Zbadaj zbie\.zno\'s\'c nast\k{e}puj\k{a}cych
szereg\'ow:
$$\leftline{\indent$\displaystyle\,\:
\textrm{(a) } \sum_{n=1}^\infty 
 \frac{n^2\,\cos n}{(\pi+\sin n)^n};\qquad
\textrm{(b) } \sum_{n=1}^\infty 
 \frac{(-1)^n}{(1+\frac{1}{n})^{2n}};
$}$$
$$\leftline{\indent$\displaystyle\,\:
\textrm{(c) } \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n} a_n^3
\quad\textrm{przy za{\l}o\.zeniu, \.ze $\sum_{n=1}^\infty a_n$
jest zbie\.zny}.
%\textrm{(c) } \sum_{n=1}^\infty a_n(1-a_{n+1})
%\quad\textrm{przy za{\l}o\.zeniu, \.ze $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$
%jest zbie\.zny};\qquad
$}$$
(W przyk{\l}adzie (c) nale\.zy udowodni\'c zbie\.zno\'s\'c
$\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n} a_n^3$
lub wskaza\'c przyk{\l}ad szeregu zbie\.znego $\sum_{n=1}^\infty a_n$
takiego, \.ze $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n} a_n^3$ jest
rozbie\.zny).

\item Niech ${\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n}$
 b\k{e}dzie iloczynem Cauchy'ego
szeregu ${\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}}$
 przez siebie.
Oblicz $c_0$, $c_1$, $c_2$. Czy szereg 
 ${\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n}$
jest bezwzgl\k{e}dnie zbie\.zny? Odpowied\'z uzasadnij.

\item Udowodnij, \.ze szereg 
${\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n}$ o wyrazach
rzeczywistych jest
bezwzgl\k{e}dnie zbie\.zny wtedy i tylko wtedy, gdy
$$
\forall_{\varepsilon>0}\;
\exists_{K\subset \N, \card K <\aleph_0}\;
\forall_{M\subset \N, \card M <\aleph_0}\;
(M\cap K=\emptyset \implies |\sum_{m\in M} a_m| <\varepsilon).
$$

\item Sprawd\'z z definicji, czy ca{\l}ka niew{\l}a\'sciwa
${\displaystyle
\int_{-1}^{1} \frac{x^3\,dx}{1-x^4}
}$
jest zbie\.zna i je\'sli tak, to j\k{a} oblicz.

\item Zbadaj zbie\.zno\'s\'c i bezwzgl\k{e}dn\k{a}
zbie\.zno\'s\'c
 ca{\l}ek niew{\l}a\'sciwych
$$\leftline{\indent$\displaystyle\,\:
\textrm{(a) } \int_1^\infty \frac{(-1)^{[2x]}}{\sqrt{x}\arctg(3x)}
  \,dx;\qquad
\textrm{(b) } \int_0^1 \frac{\ln x\,dx}{(1-x)^a}
$}$$
w zale\.zno\'sci od parametru $a>0$.

\item Oblicz granic\k{e}
$$
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n^2} \frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}.
$$
Uwaga: w  sumie powy\.zej wyst\k{e}puje $n^2$ sk{\l}adnik\'ow.
W razie k{\l}opot\'ow z~obliczeniem granicy prosz\k{e}
zast\k{a}pi\'c $\sum_{k=1}^{n^2}$ przez $\sum_{k=1}^n$.
 [9 zamiast 16 punkt\'ow]
\end{enumerate}

\noindent
Punktacja:\\
zadanie 1:\quad 19 punkt\'ow,\\
zadanie 2:\quad 11 punkt\'ow,\\
zadanie 3:\quad 20 punkt\'ow,\\
zadanie 4:\quad 8 punkt\'ow,\\
zadanie 5:\quad 26 punkt\'ow,\\
zadanie 6:\quad 16 punkt\'ow.



\end{document}







