ANALIZA MATEMATYCZNA 2 WPPT M I/2

Kolokwium nr 2, 31.05.04

Zad.1. (a) (10p) Zbadaj zbieżność całki

∫_{0}^{1} \frac{sin(\frac{1}{x})}{x} dx.

(b) (13p) Uzasadnij, że całka

∫_{1}^{∞} x^{a}e^{−2x} dx

jest zbieżna jednostajnie ze względu na parametr a ∈ (−∞, 2004).

Zad.2. (20p) Wykaż, że funkcja

f(x) = ∑_{n=1}^{∞} ∫0^{\frac{x}{\sqrt{n}}} ln(1 + t^{2})dt

jest różniczkowalna na (0, ∞). Czy f′ jest ciągła na (0, ∞)? Zad.3. (a) (2 + 2p) Sformułuj kryteria Abela i Dirichleta zbieżności jednostajnej szeregu

funkcyjnego.

(b) (8p) Zbadaj zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n + x^{2}} na ℝ.

(c) (8p) Określ dziedzinę zbieżności szeregu funkcyjnego

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}(1 + \frac{x}{n})}

i zbadaj jego zbieżność jednostajną na przedziale [0, ∞).

Zad.4. (a) (10p) Oblicz ∑ _{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n2^{n}} .

(b) (10p) Wyznacz rozwinięcie funkcji f(x) = arctgx w szereg Maclaurina.

(c) (5p) Oblicz f^{(2004)}(0) gdy f(x) = arctgx. Zad.5. (12p) Dla m ∈ (−∞, 2) kładziemy

f(m) = ∫_{0}^{π/4} ln(1 − m sin^{2} x) dx. Krótko uzasadnij, że funkcja f jest ciągła i różniczkowalna. Oblicz f′(1).

Powodzenia!