% poprawka 10 IV 2006
\documentclass[a4paper,11pt]{amsbook}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{eucal}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
% \usepackage[dutch]{babel}
% \usepackage[cp1252]{inputenc}
\prefixing
\pagestyle{empty}
\addtolength{\textwidth}{+3.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\voffset}{-1.5cm}
\addtolength{\textheight}{+2.2cm}
\DeclareMathOperator{\lin}{lin}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\noindent
\large{\textbf{ANALIZA MATEMATYCZNA 2\;\;} \hfill \textbf{WPPT M I$\slash$2}}

\vspace{25pt}

\begin{center}
\huge{\textbf{Kolokwium nr 2, 31.05.04}}
\end{center}

\vspace{35pt}

\begin{enumerate}

\item[\textbf{Zad.1.}]
\begin{enumerate}
\item
$(10p)$
Zbadaj zbie\.zno\'s\'c ca{\l}ki
$$
 \int_0^1 \frac{\sin(\frac{1}{x})}{x}\,dx.
$$
\item
$(13p)$
Uzasadnij, \.ze ca{\l}ka
$$
\int_1^\infty x^a e^{-2x}\,dx
$$
jest zbie\.zna jednostajnie ze wzgl\k{e}du
na parametr $a\in (-\infty, 2004)$.
\end{enumerate}

%\vspace{10pt}
%
%\begin{center}
%(a)~~(5p)$~~~~\int_{0}^{\infty}dx$;\hspace{15mm}
%(b)~~(5p)$~~~~\int_{0}^{\infty}dx$;\hspace{15mm}
%(c)~~(5p)$~~~~\int_{0}^{\infty}dx.$
%\end{center}

\vspace{20pt}

\item[\textbf{Zad.2.}]
$(20p)$ Wyka\.z, \.ze funkcja 
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{\frac{x}{\sqrt{n}}}\ln{(1+t^2)}dt
$$
jest r\'o\.zniczkowalna na $(0,\infty)$. Czy $f'$ jest ci\k ag{\l}a na 
$(0,\infty)$?
\vspace{20pt}

\item[\textbf{Zad.3.}]
\begin{enumerate}
\item
$(2+2p)$ Sformu{\l}uj kryteria Abela i Dirichleta zbie\.zno\'sci jednostajnej szeregu funkcyjnego.
\item
$(8p)$ Zbadaj zbie\.zno\'s\'c jednostajn\k a szeregu funkcyjnego 
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+x^2}
\hspace{10mm}{\rm na }\hspace{3mm}
\R.
$$ 

%$(5p \textrm{ zamiast } 8p)$
%Je\'sli nie potrafisz to zamiast $(-1)^{[3x]}$ przyjmij $(-1)^n$.
%bd: powyzej bylo (-1)^{[3x]}, ale to nie jest trudne -- szereg rozbiezny wszedzie!
\item
$(8p)$ Okre\'sl dziedzin\k e zbie\.zno\'sci szeregu funkcyjnego 
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}(1+\frac{x}{n})}
$$
i zbadaj jego zbie\.zno\'s\'c jednostajn\k a na przedziale $[0,\infty)$. 

\end{enumerate}

\vspace{20pt}

\item[\textbf{Zad.4.}]
\begin{enumerate}
\item
$(10p)$ Oblicz $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n2^n}$.
\item
$(10p)$ Wyznacz rozwini\k ecie funkcji $f(x)=\arctg x$
w szereg Maclaurina.
\item
$(5p)$ Oblicz $f^{(2004)}(0)$ gdy $f(x)=\arctg x$.
\end{enumerate}
\vspace{20pt}

\item[\textbf{Zad.5.}]
$(12p)$ Dla $m\in (-\infty, 2)$ k{\l}adziemy
$$
 f(m) = \int_0^{\pi//4} \ln(1-m\sin^2 x)\,dx.
$$
Kr\'otko uzasadnij, \.ze funkcja $f$ jest ci\k{a}g{\l}a
i~r\'o\.zniczkowalna. Oblicz $f'(1)$.

\end{enumerate}

\vspace{10mm}

\noindent
Powodzenia!

\end{document}
