ANALIZA MATEMATYCZNA 2 WPPT M I/2

Kolokwium Zaliczeniowe, 26.06.04

Zad.1. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną całek:

(a) ∫_{0}^{∞} (−1)^{[3x]} \frac{dx}{x}, (b) ∫_{1}^{∞} (−1)^{[3x]} \frac{dx}{x}.

Zad.2. Zbadaj zbieżność całek:

(a) ∫_{0}^{∞} 2^{−x} x^{3} cosx dx, (b) ∫_{1}^{2} \frac{x}{\sqrt{x−1}} e^{− \frac{1}{x−1}} dx.

Zad.3. Czy ciąg f_{n}(x) = \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}} jest zbieżny jednostajnie na ℝ? Odpowiedź uzasadnić.

Zad.4. Dany jest szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n}. Przyjmijmy: b_{n} = −a_{n} dla n = 2^{k}, k = 0, 1, 2, … i b_{n} = a_{n} w pozostałych przypadkach. (a) Co można powiedzieć o zbieżności szeregu ∑ _{n=1}^{∞} b_{n} jeśli szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny bezwzględnie? (b) Podaj przykład takiego ciągu {a_{n}}, że ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny warunkowo, a szereg ∑ _{n=1}^{∞} b_{n} jest rozbieżny. (b) Podaj przykład takiego ciągu {a_{n}}, że oba szeregi ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} i ∑ _{n=1}^{∞} b_{n} są zbieżne warunkowo.

Zad.5. Zbadać zbieżność szeregów:

(a) ∑ _{n=1}^{∞} (sin(n + 1) − sin(n)), (a) ∑ _{n=1}^{∞} \frac{ln (3+cos(nπ))}{2^{\sqrt{n}}} , (b) ∑ _{n=1}^{∞} n^{−(1+ \frac{1}{n} )} .

Zad.6. Wyznaczyć dziedzinę zbieżności szeregu ∑ _{n=1}^{∞} \frac{(2+cos(nπ))^{n}}{n^{2}} (x + 7)^{−n} .

Zad.7. (a) Określić przedział zbieżności szeregu potęgowego ∑ _{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{2^{n} n^{2}} . (b) Obliczyć jego sumę.

Zad.8. (a) Rozwinąć funkcję f(x) = arcctg(x) w szereg Maclaurina. (b) Obliczyć f^{(17)}(0).

Zad.9. Niech y > 0 i F (y) = ∫_{0}^{1} arctg \frac{x}{y} dx. Zbadać: (a) ciągłość (b) różniczkowalność funkcji F. (c) W przypadku gdyby F okazała się różniczkowalna obliczy ċ F′(y).

Zad.10. Funkcję f(x) = e^{2x} rozwinąć w szereg: (a) sinusów (b) kosinusów. Na jakich przedziałach znalezione rozwinięcia zbiegają do funkcji f?

Uwagi: 1. Punktacja: każde zadanie za 20 punktów.

2. Proszę starać się rozwiązywać zadania w całości – rozpoczęte, ale niedokończone podpunkty będą bardzo nisko oceniane (zwykle na 0 pkt.).

3. Do punktów zdobytych na tym kolokwium doliczamy połowę zdobytych w semestrze, do zaliczenie potrzeba łącznie 126 punktów.