\documentclass[a4paper,11pt]{amsbook}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{eucal}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
% \usepackage[dutch]{babel}
% \usepackage[cp1252]{inputenc}
\prefixing
\pagestyle{empty}
\addtolength{\textwidth}{+3.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\voffset}{-1.5cm}
\addtolength{\textheight}{+2.2cm}
\DeclareMathOperator{\lin}{lin}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\noindent
\large{\textbf{ANALIZA MATEMATYCZNA 2\;\;} \hfill \textbf{WPPT M I$\slash$2}}

\vspace{10pt}

\begin{center}
\huge{\textbf{Kolokwium Zaliczeniowe, 26.06.04}}
\end{center}

\vspace{10pt}

\begin{enumerate}

\item[\textbf{Zad.1.}]
Zbadaj zbie\.zno\'s\'c i zbie\.zno\'s\'c bezwzgl\k edn\k a ca{\l}ek:

\vspace{5pt}

\begin{center}
$(a)\hspace{3mm}\int_{0}^{\infty}(-1)^{[3x]}\,\frac{dx}{x}$,\hspace{10mm}
$(b)\hspace{3mm}\int_{1}^{\infty}(-1)^{[3x]}\,\frac{dx}{x}$.
\end{center}

\vspace{10pt}

\item[\textbf{Zad.2.}]
Zbadaj zbie\.zno\'s\'c ca{\l}ek:

\vspace{5pt}
\begin{center}
$(a)\hspace{3mm}\int_{0}^{\infty}2^{-x}x^3\cos x\,dx$,\hspace{10mm}
$(b)\hspace{3mm}\int_{1}^{2}\frac{x}{\sqrt{x-1}}e^{-\frac{1}{x-1}}\,dx$.
\end{center}

\vspace{10pt}

\item[\textbf{Zad.3.}]
Czy ci\k ag $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}$ jest zbie\.zny jednostajnie na $\R$? Odpowied\'z uzasadni\'c.
\vspace{10pt}

\item[\textbf{Zad.4.}]
Dany jest szereg $\sum_{n=1}^{\infty}a_n.$ Przyjmijmy: $b_n=-a_n$ dla
$n=2^k,$ $k=0,1,2,\ldots$
i~$b_n=a_n$ w pozosta{\l}ych przypadkach. 
$(a)$ Co mo\.zna powiedzie\'c o zbie\.zno\'sci szeregu $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ je\'sli 
szereg $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ jest zbie\.zny bezwzgl\k ednie?
 $(b)$ Podaj przyk{\l}ad takiego ci\k agu $\{a_n\},$
\.ze $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ jest zbie\.zny warunkowo, a szereg $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ jest rozbie\.zny. 
$(b)$ Podaj przyk{\l}ad takiego ci\k agu $\{a_n\},$
\.ze oba szeregi $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ i $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ s\k a zbie\.zne warunkowo. 
\vspace{10pt}

\item[\textbf{Zad.5.}]
Zbada\'c zbie\.zno\'s\'c szereg\'ow:

\vspace{5pt}

\begin{center}
$(a)\hspace{3mm}\sum_{n=1}^{\infty}(\sin(n+1)-\sin(n))$,\hspace{7mm}
$(a)\hspace{3mm}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{(3+\cos(n\pi))}}{2^{\sqrt{n}}}$,\hspace{7mm}
$(b)\hspace{3mm}\sum_{n=1}^{\infty}n^{-(1+\frac{1}{n})}$.
\end{center}

\vspace{10pt}

\item[\textbf{Zad.6.}]
Wyznaczy\'c dziedzin\k e zbie\.zno\'sci szeregu $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2+\cos(n\pi))^n}{n^2}(x+7)^{-n}.$
\vspace{10pt}

\item[\textbf{Zad.7.}]
$(a)$ Okre\'sli\'c przedzia{\l} zbie\.zno\'sci szeregu pot\k egowego $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{2^nn^2}.$ $(b)$ Obliczy\'c jego sum\k e.
\vspace{10pt}

\item[\textbf{Zad.8.}]
$(a)$ Rozwin\k a\'c funkcj\k e $f(x)=\arcctg(x)$ 
w~szereg Maclaurina. $(b)$ Obliczy\'c $f^{(17)}(0)$.

\vspace{10pt}

\item[\textbf{Zad.9.}]
Niech $y>0$ i $F(y)=\int_0^1\arctg\frac{x}{y}\,dx.$
 Zbada\'c: $(a)$ ci\k ag{\l}o\'s\'c $(b)$ r\'o\.zniczkowalno\'s\'c
funkcji $F$. $(c)$ W przypadku gdyby $F$ okaza{\l}a si\k e r\'o\.zniczkowalna obliczy\.c $F'(y)$. 
\vspace{10pt}

\item[\textbf{Zad.10.}]
Funkcj\k e $f(x)=e^{2x}$ rozwin\k a\'c w szereg: $(a)$ sinus\'ow $(b)$
kosinus\'ow. 
Na jakich
przedzia{\l}ach znalezione rozwini\k{e}cia
zbiegaj\k{a}
do funkcji~$f$?
\end{enumerate}

\vspace{10mm}

\begin{enumerate}
\item[Uwagi: 1.]
Punktacja: ka\.zde zadanie za 20 punkt\'ow. 

\item[2.]
Prosz\k{e} stara\'c
si\k{e}
rozwi\k{a}zywa\'c zadania w~ca{\l}o\'sci -- rozpocz\k{e}te,
ale niedoko\'nczone podpunkty b\k{e}d\k{a} bardzo nisko
oceniane (zwykle na 0 pkt.).

\item[3.]
Do punkt\'ow zdobytych na tym kolokwium doliczamy po{\l}ow\k{e}
zdobytych w~semestrze, 
do zaliczenie potrzeba {\l}\k{a}cznie 126 punkt\'ow.
\end{enumerate}
\end{document}


