WPPT (Matematyka)  Analiza matematyczna 2  Kolokwium nr 1, 28 IV 2006

Grupa ♡

1. Oblicz [9 pkt.]

∫_{−π/4}^{0} \frac{1}{cosx} dx.

2. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregów [12 pkt.]

∑_{n=1}^{∞} ( \frac{n}{3}) ^{n} · \frac{1}{n!},  ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n+1} · (\sqrt{n^{2} + 1} − n).

3. Oblicz iloczyn nieskończony [9 pkt.]

∏_{n=3}^{∞} ( 1 − \frac{1}{n^{2}} ) .

4. Oblicz granicę [10 pkt.]

lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{n−1} ( \frac{1}{n} · ^{4} \sqrt{\frac{2k + 1}{n}} ) .

5. Niech (b_{n}) będzie ustalonym ciągiem liczb rzeczywistych takim, że lim_{n→∞} b_{n} = ∞. Udowodnij, że istnieje szereg zbieżny ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} o wyrazach nieujemnych taki, że szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} jest rozbieżny. [10 pkt.]

Grupa ⋆

1. Oblicz [9 pkt.]

∫_{π/4}^{π/2} \frac{1}{sinx} dx.

2. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregów [12 pkt.]

∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n} n!}{n^{n}},  ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n+1} · (n − \sqrt{n^{2} − 1} ).

3. Oblicz iloczyn nieskończony [9 pkt.]

∏_{n=4}^{∞} ( 1 + \frac{1}{n(n − 2)} ) .

4. Oblicz granicę [10 pkt.]

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} ( \frac{1}{n} · ^{3} \sqrt{\frac{2k − 1}{n}} ) .

5. Niech (b_{n}) będzie ustalonym ciągiem liczb rzeczywistych takim, że lim_{n→∞} b_{n} = ∞. Udowodnij, że istnieje szereg zbieżny ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} o wyrazach nieujemnych taki, że szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} jest rozbieżny. [10 pkt.]