\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
%\usepackage{amsmath,amstext,amssymb,amsopn,amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsopn}
\usepackage{fancyhdr}

\addtolength{\textwidth}{+30mm}
\addtolength{\hoffset}{-15mm}
%\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
\addtolength{\voffset}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{+20mm}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
\DeclareMathOperator{\ch}{ch}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\footnotesize{WPPT (Matematyka)} }
\fancyhead[C]{\footnotesize{Analiza matematyczna 2}}
\fancyhead[R]{\footnotesize{Kolokwium nr 1, 28 IV 2006}}
%\addtolength{\headheight}{-5mm}

\begin{document}

\begin{center}
{\large Grupa $\heartsuit$}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Oblicz \hfill~[9~pkt.]
$$
%\textrm{(a) }
\int_{-\pi/4}^0 \frac{1}{\cos x}\,dx.
%;\quad
%\textrm{(b) }
%\int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}.
$$
%W drugiej ca{\l}ce mo\.zna si\k{e} ograniczy\'c do przypadku $x>1$.

%\item
%Niech $A=\{\frac{1}{n}: n=1,2,3,\ldots \}$.
%Zbadaj, czy funkcja
%$$
%f(x)=
%\left\{\begin{array}{ll}
%1&\quad\textrm{dla $x \in A$,}\\
%0&\quad\textrm{dla $x\in [0,1]\setminus A$}
%\end{array}
%\right.
%$$
%jest ca{\l}kowalna w~sensie Riemanna i~oblicz jej ca{\l}k\k{e} doln\k{a} i~g\'orn\k{a}

\item
Zbadaj zbie\.zno\'s\'c i zbie\.zno\'s\'c bezwzgl\k{e}dn\k{a} szereg\'ow
\hfill~[12~pkt.]
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{3}\right)^n\cdot\frac1{n!}, \qquad 
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\cdot (\sqrt{n^2+1} -n).
%\qquad \sum_{n=1}^\infty \frac{2+(-1)^n}{n}.
$$

\item 
Oblicz iloczyn niesko\'nczony \hfill~[9~pkt.]
$$\prod_{n=3}^\infty \left(1-\frac{1}{n^2}\right).$$

\item
Oblicz granic\k{e} \hfill~[10~pkt.]
$$
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} 
\left( \frac{1}{n}\cdot \sqrt[4]{\frac{2k+1}{n}} \right).
$$

\item
Niech $(b_n)$ b\k{e}dzie ustalonym ci\k{a}giem liczb rzeczywistych takim, \.ze
$\lim_{n\to \infty} b_n=\infty$.
Udowodnij, \.ze istnieje szereg zbie\.zny $\sum_{n=1}^\infty a_n$ o~wyrazach nieujemnych
taki, \.ze szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ jest rozbie\.zny. \hfill~[10~pkt.]

\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large Grupa {\LARGE $\star$}}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Oblicz\hfill~[9~pkt.]
$$
%\textrm{(a) }
\int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{1}{\sin x}\,dx.
%;\quad
%\textrm{(b) }
%\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+1}}.
$$
%W drugiej ca{\l}ce mo\.zna si\k{e} ograniczy\'c do przypadku $x>0$.

%\item
%Niech $A=\{\frac{1}{n}: n=1,2,3,\ldots \}$.
%Zbadaj, czy funkcja
%$$
%f(x)=
%\left\{\begin{array}{ll}
%1&\quad\textrm{dla $x \in A$,}\\
%0&\quad\textrm{dla $x\in [0,1]\setminus A$}
%\end{array}
%\right.
%$$
%jest ca{\l}kowalna w~sensie Riemanna i~oblicz jej ca{\l}k\k{e} doln\k{a} i~g\'orn\k{a}

\item
Zbadaj zbie\.zno\'s\'c i zbie\.zno\'s\'c bezwzgl\k{e}dn\k{a} szereg\'ow
\hfill~[12~pkt.]
$$\sum_{n=1}^{\infty} %\left(\frac{2}{n}\right)^n\cdot \frac1{n!},\qquad
\frac{2^n\, n!}{n^n},\qquad
%\sum_{n=1}^\infty \frac{2+(-1)^n}{n},\qquad
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\cdot (n-\sqrt{n^2-1}).
$$

\item
Oblicz iloczyn niesko\'nczony \hfill~[9~pkt.]
$$\prod_{n=4}^\infty \left(1+\frac{1}{n(n-2)}\right).$$

\item
Oblicz granic\k{e} \hfill~[10~pkt.]
$$
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n 
\left( \frac{1}{n} \cdot \sqrt[3]{\frac{2k-1}{n}} \right).
$$

\item
Niech $(b_n)$ b\k{e}dzie ustalonym ci\k{a}giem liczb rzeczywistych takim, \.ze
$\lim_{n\to \infty} b_n=\infty$.
Udowodnij, \.ze istnieje szereg zbie\.zny $\sum_{n=1}^\infty a_n$ o~wyrazach nieujemnych
taki, \.ze szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ jest rozbie\.zny. \hfill~[10~pkt.]
\end{enumerate}

\end{document}
