WPPT (Matematyka)  Analiza matematyczna 2  Kolokwium nr 2, 2 VI 2006

Grupa ♡

1. Sprawdź zbieżność całek niewłaściwych:

(a) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{cos^{2} x + sinx − 1} , (b) ∫_{3}^{∞} \frac{arc tge^{2x}}{x^{2} − 3x + 2} dx.

2. Uzasadnij, że szereg funkcyjny

f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} sin \frac{x^{2}}{n}

jest zbieżny dla wszystkich x ∈ ℝ i że tak określona funkcja f jest ciągła na ℝ.

3. Znajdź szereg Maclaurina funkcji

f(x) = ∫_{0}^{x} sin(t^{2}) dt, x ∈ R,

korzystając m.in. ze znanego rozwinięcia funkcji sinus. Oblicz pochodną f^{(103)}(0).

(Uwaga: proszę nie próbować bezpośrednio obliczać całki ∫ sin(t^{2}) dt, to się nie uda…).

4. Wyznacz obszar zbieżności szeregu potęgowego

∑_{n=1}^{∞} \frac{(2 − (−1)^{n})^{n}}{n} x^{n}

5. Udowodnij, że dla dowolnej funkcji ciągłej f : [0, 1] → ℝ istnieje ciąg wielomianów P_{n} taki, że P_{n} ⇉ f na [0, 1] oraz f(x) P_{n+1} (x) P_{n}(x) dla dowolnych x ∈ ℝ i n ∈ ℕ. Wskazówka: skorzystaj z twierdzenia Weierstrassa. (Prostsza wersja za nieco mniej punktów: tylko warunek f(x) P_{n}(x) zamiast f(x) P_{n+1} (x) P_{n}(x)).

Grupa ⋆

1. Sprawdź zbieżność całek niewłaściwych:

(a) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}} + e^{x} − 1} , (b) ∫_{1}^{∞} \frac{ln(1 + x)}{x^{2} + x^{3}} dx.

2. Uzasadnij, że szereg funkcyjny

f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln(x + \frac{1}{n})}{n^{2}}

jest zbieżny dla wszystkich x 1 i że tak określona funkcja f jest ciągła na [1, ∞).

3. Znajdź szereg Maclaurina funkcji

f(x) = ∫_{0}^{x} cos(t^{2}) dt, x ∈ R,

korzystając m.in. ze znanego rozwinięcia funkcji kosinus. Oblicz pochodną f^{(101)}(0).

(Uwaga: proszę nie próbować bezpośrednio obliczać całki ∫ cos(t^{2}) dt, to się nie uda…).

4. Wyznacz obszar zbieżności szeregu potęgowego

∑_{n=1}^{∞} \frac{(3 + (−1)^{n})^{n}}{n} x^{n}

5. Udowodnij, że dla dowolnej funkcji ciągłej f : [0, 1] → ℝ istnieje ciąg wielomianów P_{n} taki, że P_{n} ⇉ f na [0, 1] oraz f(x) P_{n+1} (x) P_{n}(x) dla dowolnych x ∈ ℝ i n ∈ ℕ. Wskazówka: skorzystaj z twierdzenia Weierstrassa. (Prostsza wersja za nieco mniej punktów: tylko warunek f(x) P_{n}(x) zamiast f(x) P_{n+1} (x) P_{n}(x)).