ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium 1 3 grudnia 2004 Grupa ♣

1. Sprawdź, czy istnieje granica

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{y sin^{2} x}{x^{2} + y^{2}}

i jeśli tak, to ją oblicz.

2. Znajdź minima i maksima lokalne funkcji f(x, y) = 2 + 2x^{3}y − x^{2} − 3y^{2}.

3. Funkcja h : ℝ^{2} → ℝ klasy C^{2} spełnia równanie Laplace’a: Δh(w) = 0 dla każdego w ∈ ℝ^{2}. Sprawdź, że równanie Laplace’a spełnia również funkcja f : ℝ^{2} → ℝ określona wzorem f(x, y) = h(3x + y, −x + 3y). W razie kłopotów rozwiąż zadanie dla h(x, y) = e^{x} cosy (za połowę punktów).

4. Znajdź macierz Jacobiego odwzorowania

f(x, y, z) = (x^{2} cosy, x + 2z, sin(y^{2}))

w punkcie (2, π, 0). Czy w pewnym otoczeniu tego punktu funkcja f jest odwracalna?

5. Funkcja f = f(x, y) jest różniczkowalna w otoczeniu pewnego punktu a ∈ ℝ^{2} i spełnia:

\frac{∂f}{∂x}(a) = \frac{∂f}{∂y}(a) oraz D_{(−1,2)} f(a) = 3.

(D_{(−1,2)} f(a) oznacza tu pochodną kierunkową funkcji f w punkcie a wzdłuż wektora (−1, 2)). Oblicz ∇f(a).

6. Napisz wzór Taylora funkcji f(x, y) = e^{y sin x} w otoczeniu punktu (\frac{π}{4}, 0) z resztą R_{2}. Napisz też postać tej reszty, ale już bez obliczania odpowiednich pochodnych. Przypomnienie: w reszcie R_{2} występują pochodne \underline{trzeciego} rzędu.

7. (Bonus) Niech f(x, y) = (x − y^{2})(2x − y^{2}).

(a) Narysuj poziomicę funkcji f odpowiadającą poziomowi 0. Zaznacz zbiór, na którym f przyjmuje wartości ujemne (dodatnie).

(b) Czy f ma ekstremum lokalne w punkcie (0, 0)?

(c) Czy f ma ekstremum warunkowe w punkcie (0, 0) pod warunkiem Ax + By = 0, gdzie (A, B) ≠ (0, 0) dowolnie ustalone?

Odpowiedzi krótko uzasadnij.

Punktacja: za zadania 1-6 można otrzymać w sumie 100 punktów, za zadanie 7 — 11 punktów.

ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium 1 3 grudnia 2004 Grupa ♢

1. Funkcja f = f(x, y) jest różniczkowalna w otoczeniu pewnego punktu a ∈ ℝ^{2} i spełnia:

\frac{∂f}{∂x}(a) = 1 oraz D_{(2,3)}f(a) = −4.

(D_{(2,3)}f(a) oznacza tu pochodną kierunkową funkcji f w punkcie a wzdłuż wektora (2, 3)). Oblicz \frac{∂f}{∂y}(a).

2. Znajdź najmniejsze i największe wartości funkcji f(x, y) = \frac{1}{3}x^{3} − x^{2}y + xy^{2} − x na zbiorze |x| 3, 0 y 2.

3. Funkcja f : ℝ^{2} → ℝ klasy C^{2} spełnia równanie Laplace’a: Δf(w) = 0 dla każdego w ∈ ℝ^{2}. Sprawdź, że równanie Laplace’a spełnia również funkcja h : ℝ^{2} → ℝ określona wzorem h(x, y) = f(x − 2y, 2x + y). W razie kłopotów rozwiąż zadanie dla f(x, y) = e^{y} sinx (za połowę punktów).

4. Znajdź macierz Jacobiego odwzorowania

f(x, y, z) = (e^{yz}, \frac{1}{sinx}, x + 2y + 3z)

w punkcie (\frac{π}{4}, 1, 0). Czy w pewnym otoczeniu tego punktu funkcja f jest odwracalna?

5. Sprawdź, czy istnieje granica

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{(x − y)^{4}}{x^{4} + y^{4}}

i jeśli tak, to ją oblicz.

6. Napisz wzór Taylora funkcji

f(x, y, z) = cos( \frac{xe^{z}}{y} )

w otoczeniu punktu (\frac{π}{2}, 1, 0) z resztą R_{1}. Napisz też postać tej reszty, ale już bez obliczania odpowiednich pochodnych. Przypomnienie: w reszcie R_{1} występują pochodne \underline{drugiego} rzędu.

7. (Bonus) Niech f(x, y) = (y + x^{2})(2y + x^{2}).

(a) Narysuj poziomicę funkcji f odpowiadającą poziomowi 0. Zaznacz zbiór, na którym f przyjmuje wartości ujemne (dodatnie).

(b) Czy f ma ekstremum lokalne w punkcie (0, 0)?

(c) Czy f ma ekstremum warunkowe w punkcie (0, 0) pod warunkiem Ax + By = 0, gdzie (A, B) ≠ (0, 0) dowolnie ustalone?

Odpowiedzi krótko uzasadnij.

Punktacja: za zadania 1-6 można otrzymać w sumie 100 punktów, a za zadanie 7 — 11 punktów.