\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
\usepackage{amsfonts, amsopn,amsmath}

\topmargin    -28mm
\textheight    247.0mm
\textwidth     175mm
\oddsidemargin -10mm
\arraycolsep   2.0pt

%\addtolength{\textwidth}{+20mm}
%\addtolength{\hoffset}{-10mm}
%\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
%\addtolength{\voffset}{-25mm}
%\addtolength{\textheight}{+40mm}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}

%\newcommand{\lin}{{\textrm{lin}}}
%\newcommand{\lins}{{\textrm{lin}\,}}

%\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
%\DeclareMathOperator{\conv}{conv}


\begin{document}
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium 1}

3 grudnia 2004

Grupa $\clubsuit$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
Sprawd\'z, czy istnieje granica $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}
\frac{y\sin^2x}{x^2+y^2}$$ i~je\'sli tak, to j\k{a}
oblicz.

\item
Znajd\'z minima i maksima lokalne funkcji
$f(x,y)=2+2x^3y-x^2-3y^2$.

\item
Funkcja $h:\R^2\to\R$ klasy $C^2$ spe{\l}nia
r\'ownanie Laplace'a: $\Delta h(w)=0$ dla
ka\.zdego $w\in \R^2$. Sprawd\'z, \.ze
r\'ownanie Laplace'a spe{\l}nia
r\'ownie\.z funkcja $f:\R^2\to\R$ okre\'slona
wzorem $f(x,y)=h(3x+y,-x+3y)$.
W razie k{\l}opot\'ow rozwi\k{a}\.z zadanie dla
$h(x,y)=e^x\cos y$ (za po{\l}ow\k{e} punkt\'ow).

\item
Znajd\'z macierz Jacobiego odwzorowania
$$f(x,y,z)=(x^2\cos y,\, x+2z,\, \sin(y^2))$$
w~punkcie $(2,\pi,0)$. Czy w~pewnym otoczeniu
tego punktu funkcja $f$ jest odwracalna?

\item
Funkcja $f=f(x,y)$ jest r\'o\.zniczkowalna
w~otoczeniu pewnego punktu $a\in\R^2$ i~spe{\l}nia:
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(a)=\frac{\partial f}{\partial y}(a)
\quad\textrm{oraz}\quad
D_{(-1,2)}f(a)=3.
$$
($D_{(-1,2)}f(a)$ oznacza tu pochodn\k{a} kierunkow\k{a}
funkcji $f$ w punkcie $a$ wzd{\l}u\.z wektora $(-1,2)$).
Oblicz $\nabla f(a)$.

\item
Napisz wz\'or Taylora funkcji $f(x,y)=e^{y\sin x}$
w~otoczeniu punktu $(\frac{\pi}{4},0)$ z~reszt\k{a} $R_2$.
Napisz te\.z posta\'c tej reszty, ale ju\.z bez
obliczania odpowiednich pochodnych.
Przypomnienie: w~reszcie $R_2$ wyst\k{e}puj\k{a}
pochodne \underline{trzeciego} rz\k{e}du.

\item (Bonus)
Niech $f(x,y)=(x-y^2)(2x-y^2)$.
\begin{itemize}
\item[(a)] Narysuj poziomic\k{e} funkcji $f$ odpowiadaj\k{a}c\k{a}
poziomowi $0$. Zaznacz zbi\'or, na kt\'orym $f$ przyjmuje
warto\'sci ujemne (dodatnie).
\item[(b)] Czy $f$ ma ekstremum lokalne w~punkcie $(0,0)$?
\item[(c)] Czy $f$ ma ekstremum warunkowe w~punkcie $(0,0)$
pod warunkiem $Ax+By=0$, gdzie $(A,B)\neq(0,0)$ dowolnie
ustalone?
\end{itemize}
Odpowiedzi kr\'otko uzasadnij.
\end{enumerate}

Punktacja: za zadania 1-6 mo\.zna otrzyma\'c w~sumie 100 punkt\'ow,
za zadanie 7 --- 11 punkt\'ow.


\newpage
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium 1}

3 grudnia 2004

Grupa $\diamondsuit$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
Funkcja $f=f(x,y)$ jest r\'o\.zniczkowalna
w~otoczeniu pewnego punktu $a\in\R^2$ i~spe{\l}nia:
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(a)=1
\quad\textrm{oraz}\quad
D_{(2,3)}f(a)=-4.
$$
($D_{(2,3)}f(a)$ oznacza tu pochodn\k{a} kierunkow\k{a}
funkcji $f$ w punkcie $a$ wzd{\l}u\.z wektora $(2,3)$).
Oblicz $\frac{\partial f}{\partial y}(a)$.

\item
Znajd\'z najmniejsze i najwi\k{e}ksze warto\'sci funkcji
$f(x,y)=\frac{1}{3}x^3-x^2y+xy^2-x$ na zbiorze
$|x|\leq 3$, $0\leq y \leq 2$.

\item
Funkcja $f:\R^2\to\R$ klasy $C^2$ spe{\l}nia
r\'ownanie Laplace'a: $\Delta f(w)=0$ dla
ka\.zdego $w\in \R^2$. Sprawd\'z, \.ze
r\'ownanie Laplace'a spe{\l}nia
r\'ownie\.z funkcja $h:\R^2\to\R$ okre\'slona
wzorem $h(x,y)=f(x-2y,2x+y)$.
W razie k{\l}opot\'ow rozwi\k{a}\.z zadanie dla
$f(x,y)=e^y\sin x$ (za po{\l}ow\k{e} punkt\'ow).

\item
Znajd\'z macierz Jacobiego odwzorowania
$$f(x,y,z)=(e^{yz}, \frac{1}{\sin x}, x+2y+3z)$$
w~punkcie $(\frac{\pi}{4},1,0)$. Czy w~pewnym otoczeniu
tego punktu funkcja $f$ jest odwracalna?


\item
Sprawd\'z, czy istnieje granica $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}
\frac{(x-y)^4}{x^4+y^4}$$ i~je\'sli tak, to j\k{a}
oblicz.

\item
Napisz wz\'or Taylora funkcji 
$$f(x,y,z)=\cos\left(\frac{xe^z}{y}\right)$$
w~otoczeniu punktu $(\frac{\pi}{2},1,0)$ z~reszt\k{a} $R_1$.
Napisz te\.z posta\'c tej reszty, ale ju\.z bez
obliczania odpowiednich pochodnych.
Przypomnienie: w~reszcie $R_1$ wyst\k{e}puj\k{a}
pochodne \underline{drugiego} rz\k{e}du.

\item (Bonus)
Niech $f(x,y)=(y+x^2)(2y+x^2)$.
\begin{itemize}
\item[(a)] Narysuj poziomic\k{e} funkcji $f$ odpowiadaj\k{a}c\k{a}
poziomowi $0$. Zaznacz zbi\'or, na kt\'orym $f$ przyjmuje
warto\'sci ujemne (dodatnie).
\item[(b)] Czy $f$ ma ekstremum lokalne w~punkcie $(0,0)$?
\item[(c)] Czy $f$ ma ekstremum warunkowe w~punkcie $(0,0)$
pod warunkiem $Ax+By=0$, gdzie $(A,B)\neq(0,0)$ dowolnie
ustalone?
\end{itemize}
Odpowiedzi kr\'otko uzasadnij.
\end{enumerate}

Punktacja: za zadania 1-6 mo\.zna otrzyma\'c w~sumie 100 punkt\'ow,
a za zadanie 7 --- 11 punkt\'ow.


\end{document}





