ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium 1 27 stycznia 2005 Grupa ♣

1. Oblicz długość krzywej γ(t) = (e^{t}, t\sqrt{2}, e^{−t} ), 0 t 1.

2. Oblicz pole fragmentu helikoidy będącego obrazem odwzorowania r(s, t) = (s cost, s sint, t) dla 0 t s π.

3. Korzystając ze wzoru Greena oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą γ(t) = (a sint, b cos^{3} t), gdzie t ∈ [0, 2π], a, b > 0.

4. Oblicz całkę

∫_{C} ((x + y + 1)e^{x} − e^{y}) dx + (e^{x} − (x + y + 1)e^{y}) dy,

gdzie C jest fragmentem łuku okręgu o środku w punkcie (−4, \frac{1}{2}) leżącym w I ćwiartce układu współrzędnych i łączącym punkt (0, 0) z punktem (0, 1).

Wskazówka: zadanie ma krótkie i nieuciążliwe rachunkowo rozwiązanie …

5. Oblicz pole obszaru

\{ (x, y) ∈ ℝ^{2} : ( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}) ^{2} xy\} ,

gdzie a, b ≠ 0. Narysuj (schematycznie) ten obszar w przypadku a = b.

6. Oblicz całkę niewłaściwą

∫∫∫_{D} \frac{arctg \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}} dx dy dz,

gdzie D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} 1 oraz xy 0}.

7. (Bonus)

A. Czy fragment helikoidy z zadania powyżej jest płatem powierzchniowym prostym? Czy jest płatem gładkim?

B. Sparametryzuj krzywą, którą zakreśla punkt leżący na okręgu o promieniu 1 toczącego się bez poślizgu po wewnętrznej stronie okręgu o promieniu 3. (Można poprosić o objaśniający rysunek).

Punktacja: za zadania 1-4: po 15 punktów, za zadania 5-6: po 20 punktów, za zadanie 7 — 11 punktów.

ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium 1 27 stycznia 2005 Grupa ♢

1. Oblicz długość krzywej γ(t) = (t sint + cost, t cost − sint, t^{3}), 0 t 2.

2. Oblicz pole fragmentu helikoidy będącego obrazem odwzorowania r(s, t) = (t coss, t sins, s) dla 0 s t π.

3. Korzystając ze wzoru Greena oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą γ(t) = (a sin^{3} t, b cost), gdzie t ∈ [0, 2π], a, b > 0.

4. Oblicz całkę

∫_{C} ((x − y + 1)e^{x} + e^{y}) dx + (−e^{x} + (x − y − 1)e^{y}) dy,

gdzie C jest fragmentem łuku okręgu o środku w punkcie (\frac{1}{2}, −3) leżącym w I ćwiartce układu współrzędnych i łączącym punkt (0, 0) z punktem (1, 0).

Wskazówka: zadanie ma krótkie i nieuciążliwe rachunkowo rozwiązanie …

5. Oblicz pole obszaru

\{ (x, y) ∈ ℝ^{2} : ( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}) ^{2} xy\} ,

gdzie a, b ≠ 0. Narysuj (schematycznie) ten obszar w przypadku a = b.

6. Oblicz całkę niewłaściwą

∫∫∫_{D} e^{−(x^{2}+y^{2}+z^{2})} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dx dy dz,

gdzie D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} 1 oraz z 0}.

7. (Bonus)

A. Czy fragment helikoidy z zadania powyżej jest płatem powierzchniowym prostym? Czy jest płatem gładkim?

B. Sparametryzuj krzywą, którą zakreśla punkt leżący na okręgu o promieniu 1 toczącego się bez poślizgu po wewnętrznej stronie okręgu o promieniu 3. (Można poprosić o objaśniający rysunek).

Punktacja: za zadania 1-4: po 15 punktów, za zadania 5-6: po 20 punktów, za zadanie 7 — 11 punktów.