\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
 \usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
\usepackage{amsfonts, amsopn,amsmath}

\topmargin    -28mm
\textheight    247.0mm
\textwidth     175mm
\oddsidemargin -10mm
\arraycolsep   2.0pt

%\addtolength{\textwidth}{+20mm}
%\addtolength{\hoffset}{-10mm}
%\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
%\addtolength{\voffset}{-25mm}
%\addtolength{\textheight}{+40mm}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}

%\newcommand{\lin}{{\textrm{lin}}}
%\newcommand{\lins}{{\textrm{lin}\,}}

\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
%\DeclareMathOperator{\conv}{conv}


\begin{document}
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium 1}

27 stycznia 2005

Grupa $\clubsuit$
\end{center}
% teraz ta grupa trudniejsza!
\begin{enumerate}
\item
Oblicz d{\l}ugo\'s\'c krzywej $\gamma(t)=(e^t, t\sqrt{2}, e^{-t})$,
$0\leq t\leq 1$.

\item
Oblicz pole fragmentu helikoidy b\k{e}d\k{a}cego
obrazem odwzorowania
$r(s,t)=(s\cos t, s\sin t, t)$
dla $0\leq t\leq s\leq \pi$.

\item
Korzystaj\k{a}c ze wzoru Greena oblicz pole
obszaru ograniczonego krzyw\k{a}
$\gamma(t) = (a\sin t, b\cos^3 t)$,
gdzie $t\in [0,2\pi]$, $a$, $b>0$.

\item
Oblicz ca{\l}k\k{e}
$$\int_C \left(
 (x+y+1)e^x - e^y \right)\,dx +
 \left(
 e^x -(x+y+1)e^y \right)\,dy,
$$
gdzie $C$ jest fragmentem {\l}uku okr\k{e}gu
o~\'srodku w~punkcie $(-4,\frac{1}{2})$
le\.z\k{a}cym w I \'cwiartce uk{\l}adu wsp\'o{\l}rz\k{e}dnych
i~{\l}\k{a}cz\k{a}cym punkt $(0,0)$ z~punktem $(0,1)$.

\noindent
Wskaz\'owka: zadanie ma kr\'otkie i~nieuci\k{a}\.zliwe
rachunkowo rozwi\k{a}zanie \dots

\item
Oblicz pole obszaru
$$
 \left\{ (x,y)\in\R^2 : \left( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}
 \right)^2 \leq xy \right\},
$$
gdzie $a$, $b\neq 0$. Narysuj (schematycznie) ten obszar w~przypadku $a=b$.

\item
Oblicz ca{\l}k\k{e} niew{\l}a\'sciw\k{a}
$$
 \iiint_D 
\frac{\arctg \sqrt{x^2+y^2+z^2}}{
(x^2+y^2+z^2)^2}
\,dx\,dy\,dz,
$$
gdzie $D = \{(x,y,z)\in\R^3: x^2+y^2+z^2\geq 1 \textrm{ oraz }
 xy\geq 0\}$.

\item (Bonus)
\newline
\noindent
A. Czy fragment helikoidy z~zadania powy\.zej
jest p{\l}atem powierzchniowym prostym?
Czy jest p{\l}atem g{\l}adkim?

B. Sparametryzuj krzyw\k{a}, kt\'or\k{a} zakre\'sla
punkt le\.z\k{a}cy na okr\k{e}gu o~promieniu~1
tocz\k{a}cego si\k{e} bez po\'slizgu po wewn\k{e}trznej
stronie okr\k{e}gu o~promieniu~3. (Mo\.zna poprosi\'c
o~obja\'sniaj\k{a}cy rysunek).
\end{enumerate}

Punktacja: za zadania 1-4: po 15~punkt\'ow,
za zadania 5-6: po 20 punkt\'ow,
za zadanie 7 --- 11 punkt\'ow.


\newpage
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium 1}

27 stycznia 2005

Grupa $\diamondsuit$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
Oblicz d{\l}ugo\'s\'c krzywej 
$\gamma(t)=(t\sin t+\cos t, t\cos t -\sin t, t^3)$,
$0\leq t\leq 2$.

\item
Oblicz pole fragmentu helikoidy b\k{e}d\k{a}cego
obrazem odwzorowania
$r(s,t)=(t\cos s, t\sin s, s)$
dla $0\leq s\leq t\leq \pi$.

\item
Korzystaj\k{a}c ze wzoru Greena oblicz pole
obszaru ograniczonego krzyw\k{a}
$\gamma(t) = (a\sin^3 t, b\cos t)$,
gdzie $t\in [0,2\pi]$, $a$, $b>0$.

\item
Oblicz ca{\l}k\k{e}
$$\int_C \left(
 (x-y+1)e^x + e^y \right)\,dx +
 \left(
 -e^x +(x-y-1)e^y \right)\,dy,
$$
gdzie $C$ jest fragmentem {\l}uku okr\k{e}gu
o~\'srodku w~punkcie $(\frac{1}{2},-3)$
le\.z\k{a}cym w I \'cwiartce uk{\l}adu wsp\'o{\l}rz\k{e}dnych
i~{\l}\k{a}cz\k{a}cym punkt $(0,0)$ z~punktem $(1,0)$.

\noindent
Wskaz\'owka: zadanie ma kr\'otkie i~nieuci\k{a}\.zliwe
rachunkowo rozwi\k{a}zanie \dots

\item
Oblicz pole obszaru
$$
 \left\{ (x,y)\in\R^2 : \left( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}
 \right)^2 \leq xy \right\},
$$
gdzie $a$, $b\neq 0$.  Narysuj (schematycznie) ten obszar w~przypadku $a=b$.

\item
Oblicz ca{\l}k\k{e} niew{\l}a\'sciw\k{a}
$$
 \iiint_D 
e^{-(x^2+y^2+z^2)} \sqrt{x^2+y^2+z^2}
\,dx\,dy\,dz,
$$
gdzie $D = \{(x,y,z)\in\R^3: x^2+y^2+z^2\geq 1 \textrm{ oraz }
 z\geq 0\}$.

\item (Bonus)
\newline
\noindent
A. Czy fragment helikoidy z~zadania powy\.zej
jest p{\l}atem powierzchniowym prostym?
Czy jest p{\l}atem g{\l}adkim?

B. Sparametryzuj krzyw\k{a}, kt\'or\k{a} zakre\'sla
punkt le\.z\k{a}cy na okr\k{e}gu o~promieniu~1
tocz\k{a}cego si\k{e} bez po\'slizgu po wewn\k{e}trznej
stronie okr\k{e}gu o~promieniu~3. (Mo\.zna poprosi\'c
o~obja\'sniaj\k{a}cy rysunek).
\end{enumerate}

Punktacja: za zadania 1-4: po 15~punkt\'ow,
za zadania 5-6: po 20 punkt\'ow,
za zadanie 7 --- 11 punkt\'ow.

\end{document}





